Соотношение Бретшнайдера

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов.

Формулировка

Четырехугольник

Между сторонами a, b, c, d, углами $\alpha ,\gamma ,$ противоположными друг другу, и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

$e^2{f}^2=a^2{c}^2+b^2{d}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

Замечание

• Эквивалентные формулировки:

  $e^2{f}^2=(ac+bd{)}^2-4abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2},$

  $e^2{f}^2=(ac-bd{)}^2+4abcd{\sin }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Следствия

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.
• Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония.
• Если четырёхугольник вписан в окружность, то $\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{\pi }{2}$. Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: $ef=ac+bd$.
• Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то Шаблон:Nums. Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC.

См. также

• Теорема Птолемея
• Четырёхугольник
• Формула Брахмагупты

Литература

• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин