Теорема Аполлония

Зелёное + Голубое = Красное

В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через его стороны. В частности, если в каком-либо треугольнике ABC медиана AD, то

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2).$

Это частный случай теоремы Стюарта. Для равнобедренного треугольника теорема сводится к теореме Пифагора. Из факта, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, можно доказать, что теорема эквивалентна тождеству параллелограмма.

Теорема называется в честь Аполлония Пергского.

Доказательство

Доказательство теоремы Аполлония

Теорема может быть доказана как особый случай теоремы Стюарта или с помощью векторов (см. тождество параллелограмма). Ниже приводится независимое доказательство, использующее теорему косинусов.

Пусть стороны треугольника a, b, c, а медиана d проведена к стороне a треугольника. Пусть m — длина отрезков a, образованных медианой, то есть m составляет половину a. Пусть углы между a и d — θ и θ′, где θ содержит b и θ′ содержит c. Затем, θ′ является смежным углом к θ и cos θ′ = −cos θ. Теорема косинусов для θ и θ′ гласит:

$\begin{array}{cc}{b}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ c^2& =m^2+d^2-2dm\cos {\theta }^{\prime }=\\ & =m^2+d^2+2dm\cos \theta .\end{array}$

Сложив эти уравнения, получим

$b^2+c^2=2m^2+2d^2$

как и требовалось.

См. также

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлония

Источники

• Шаблон:Книга
• Шаблон:PlanetMath