Медиана треугольника

Медиа́на треуго́льника (Шаблон:Lang-la — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Если $A B C$ ― треугольник, и $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин $A$ , $B$ , $C$ к сторонам $a$ , $b$ , $c$ , обычно обозначаются $m_{a}$ , $m_{b}$ и $m_{c}$ .

Связанные определения

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка. Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой^[1]. В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны $\frac{1}{\sqrt{10}}$ , а косинус противоположного основанию угла равен $\frac{4}{5}$ .

Свойства оснований медиан

Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Теркем доказал теорему Теркема^[2]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства

Если треугольник разносторонний (неравнобедренный), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}},

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}},

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}},

где

m_{a}, m_{b}, m_{c}

— медианы к сторонам треугольника

a, b, c

соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a = \frac{2}{3} \sqrt{- m_{a}^{2} + 2 m_{b}^{2} + 2 m_{c}^{2}} = \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - 4 m_{a}^{2}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{2} - c^{2} + 2 m_{b}^{2}} = \sqrt{\frac{c^{2}}{2} - b^{2} + 2 m_{c}^{2}},

b = \frac{2}{3} \sqrt{- m_{b}^{2} + 2 m_{a}^{2} + 2 m_{c}^{2}} = \sqrt{2 (a^{2} + c^{2}) - 4 m_{b}^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - c^{2} + 2 m_{a}^{2}} = \sqrt{\frac{c^{2}}{2} - a^{2} + 2 m_{c}^{2}},

c = \frac{2}{3} \sqrt{- m_{c}^{2} + 2 m_{b}^{2} + 2 m_{a}^{2}} = \sqrt{2 (b^{2} + a^{2}) - 4 m_{c}^{2}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{2} - a^{2} + 2 m_{b}^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - b^{2} + 2 m_{a}^{2}},

где

m_{a}, m_{b}, m_{c}

— медианы к соответствующим сторонам треугольника,

a, b, c

— стороны треугольника.

Площадь $S$ любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S = \frac{4}{3} \sqrt{σ (σ - m_{a}) (σ - m_{b}) (σ - m_{c})},

где

σ = (m_{a} + m_{b} + m_{c}) / 2

— полусумма длин медиан.

Углы, образованные между медианой треугольника и его стороной, к которой проведена данная медиана, равны

arccot \frac{a^{2} - b^{2}}{4 S}, arccot \frac{b^{2} - a^{2}}{4 S}

,

где

S

— площадь данного треугольника,

a

и

b

— его стороны с общей вершиной в той точке, из которой проведена данная медиана в треугольнике.

Вариации и обобщение

Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

См. также

Шаблон:Wiktionary

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Шаблон:Треугольник

↑ Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/Шаблон:Недоступная ссылка 1604
↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 16.

[1] Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/Шаблон:Недоступная ссылка 1604

[2] Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 16.

[1]

[2]

Медиана треугольника

Содержание

Связанные определения

Свойства

Основное свойство

Свойства медиан равнобедренного треугольника

Свойства оснований медиан

Другие свойства

Основные соотношения

Вариации и обобщение

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Медиана треугольника

Связанные определения

Свойства

Основное свойство

Свойства медиан равнобедренного треугольника

Свойства оснований медиан

Другие свойства

Основные соотношения

Вариации и обобщение

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Поиск