Изотомическое сопряжение

В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.

Определение

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого $A_0$ — середина стороны $BC$, $B_0$ — середина $AC$ и $C_0$ — середина стороны $AB$. Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка $P$, не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые $AP$, $BP$ и $CP$. Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, $\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}=1$. Если теперь точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ симметрично отразить относительно $A_0$, $B_0$ и $C_0$ соответственно, получатся точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку $A{C}_1=B{C}_2$, $A{C}_2=B{C}_1$ и так же для остальных пар точек, получаем $1=\frac{A{C}_1}{C_{1}B}\cdot \frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}=\frac{B{C}_2}{C_{2}A}\cdot \frac{C{A}_2}{A_{2}B}\cdot \frac{A{B}_2}{B_{2}C}$ и, согласно той же теореме Чевы, прямые $A{A}_2$, $B{B}_2$ и $C{C}_2$ пересекаются в одной точке $P^{\prime }$. Эта точка называется изотомически сопряжённой точке $P$ относительно треугольника $ABC$.

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми $AB$, $BC$ и $AC$. На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой $BC$ соответствует вершина $A$ (и наоборот, вершине $A$ — всякая точка $BC$) и так далее.

Координаты

Если барицентрические координаты точки $P$ суть $(p:q:r)$, то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки $P^{\prime }$ суть $(\frac{1}{p}:\frac{1}{q}:\frac{1}{r})$.

Если трилинейные координаты точки $P$ суть $(p:q:r)$, то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки $P^{\prime }$ суть $(\frac{1}{a^{2}p}:\frac{1}{b^{2}q}:\frac{1}{c^{2}r})$.

Другое определение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Свойства

• Изотомическое сопряжение является инволюцией, то есть его квадрат тривиален.

• Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника $ABC$ и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
• Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
• Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
• Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
• Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.

См. также

• Изогональное сопряжение
• Изоциркулярное преобразование

Ссылки

• А. Г. Мякишев "Элементы геометрии треугольника", М., МЦНМО, 2002
• Е. А. Куланин, А. Г. Мякишев "О некоторых кониках, связанных с треугольником"