Точка Нагеля

Шаблон:Центр треугольника Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается $N$.

Свойства

Прямая Нагеля. $I$ — инцентр, $M$ — центроид, $S$ — центр Шпикера, $N$ — точка Нагеля.

• Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
• Если точки $T_A\in BC$, $T_B\in CA$, $T_C\in AB$ таковы, что каждый из отрезков $A{T}_A$, $B{T}_B$ и $C{T}_C$ делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
• Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Расстояние между ортоцентром $H$ и точкой Нагеля $N$ равно диаметру окружности Фурмана и равно

$NH=2R\sqrt{\frac{a^3-a^{2}b-a{b}^2+b^3-a^{2}c+3abc-b^{2}c-a{c}^2+c^3}{abc}}$.

• Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром.
• Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.
• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника..

Треугольник Нагеля

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника $ABC$ определяется вершинами $T_A$, $T_B$ и $T_C$, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника $ABC$ и точка $T_A$ противоположна стороне $A$, и т. д.

Свойства

• Описанная вокруг треугольника $T_A{T}_B{T}_C$ окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
• Три прямые $A{T}_A$, $B{T}_B$ и $C{T}_C$ делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля $N$ — X(8).
• Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.
• Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.

Анимация построения точки Нагеля

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также

• Вписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Замечательные точки треугольника
• Описанная окружность
• Треугольник точек касания вневписанных окружностей
• Точка Жергонна

Ссылки

• Точка Нагеля, живой чертёж
• М. Б. Балк, В. Г. Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61