Серединный треугольник

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Красный треугольник является серединным треугольником для чёрного. Вершины красного треугольника лежат в серединах сторон чёрного.

Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Свойства

Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника △ABC при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник △ABC. Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника △ABC и что его площадь равна четверти площади треугольника △ABC. Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольникаШаблон:Sfn. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).

Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника △ABC, этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольникаШаблон:Sfn.

Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)Шаблон:Sfn.

Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольникеШаблон:Sfn. Точка внутри треугольника является центром Шаблон:Не переведено 5 тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольникаШаблон:Sfn. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольникаШаблон:Sfn. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника △ABC, является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.

Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[1]

Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[2]

Координаты

Пусть a=|BC|,b=|CA|,c=|AB| — длины сторон треугольника △ABC. Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:

  • X=0:1/b:1/c
  • Y=1/a:0:1/c
  • Z=1/a:1/b:0

Антисерединный треугольник

Если △XYZ — серединный треугольник для △ABC, то △ABC является антисерединным треугольником (антидополнительным) для △XYZ. Антикомплементарный треугольник для △ABC образуется тремя прямыми, параллельными сторонам △ABC — параллельно AB через точку C, параллельно AC через точку B и параллельно BC через точку A.

Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника △X′Y′Z′ задаются формулами:

  • X′=−1/a:1/b:1/c
  • Y′=1/a:−1/b:1/c
  • Z′=1/a:1/b:−1/c

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

  1. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
  2. ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Шаблон:Wayback
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Серединный_треугольник&oldid=746