Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Треугольник внекасаний ($\mathrm{\Delta }{\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{C}}$, с красными сторонами) и точка Нагеля (синяя, N) треугольника ($\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, чёрные стороны). Оранжевые окружности — это вневписанные окружности треугольника.

Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний, хотя его часто называют треугольником Нагеля. Некоторые его свойства есть в статье Точка Нагеля.

Координаты

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами:

$T_A=0:{\csc }^2(B/2):{\csc }^2(C/2)$

$T_B={\csc }^2(A/2):0:{\csc }^2(C/2)$

$T_C={\csc }^2(A/2):{\csc }^2(B/2):0$

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

$T_A=0:\frac{a-b+c}{b}:\frac{a+b-c}{c}$

$T_B=\frac{-a+b+c}{a}:0:\frac{a+b-c}{c}$

$T_C=\frac{-a+b+c}{a}:\frac{a-b+c}{b}:0.$

Связанные фигуры

Шаблон:Не переведено 5 треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля, которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасанийШаблон:Sfn.

Площадь

Площадь треугольника внекасаний, $K_T$, задаётся формулой:

$K_T=K\frac{2r^{2}s}{abc}$,

где $K$, $r$, $s$ являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а $a$, $b$, $c$ являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний.

Литература

• Шаблон:Статья

См. также

• Точка Нагеля