Центроид треугольника

Шаблон:Центр треугольника Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой $M$. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если $M$ — центроид треугольника $ABC$ то для любой точки $O$ верно равенство

  $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть $ABC$ — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника $ABC$, называется окружностью Парри треугольника $ABC$.
• Три чевианы, проведённые через произвольную точку $O$ внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка $O$ совпадает с центроидомШаблон:Sfn.
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)$.

• Пусть $q_a$, $q_b$ и $q_c$ — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными $a$, $b$ и $c$. ТогдаШаблон:Rp

$\frac{q_a}{q_b}=\frac{b}{a},\frac{q_b}{q_c}=\frac{c}{b},\frac{q_a}{q_c}=\frac{c}{a}$

и

$q_a\cdot a=q_b\cdot b=q_c\cdot c=\frac{2}{3}S$,

где $S$ — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

• Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины
• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности.
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Шаблон:Math, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Шаблон:Math и точка пересечения его диагоналей Шаблон:Math коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле

$P{G}_a=\frac{4}{3}P{G}_v.$

См. также

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Литература

• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Шаблон:H
• Шаблон:Citation