Теорема Лейбница (геометрия)

Шаблон:Другие значения Теорема или формула Лейбница — утверждение о медианах: Шаблон:Рамка Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Для произвольной точки O плоскости имеет место равенство

$A{O}^2+B{O}^2+C{O}^2=3O{M}^2+A{M}^2+B{M}^2+C{M}^2.$

Шаблон:Конец рамки Из теоремы Лейбница следует, что среди всех точек плоскости точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение.

Аналогичное утверждение справедливо для тетраэдра: сумма квадратов расстояний от точки до вершин тетраэдра минимальна для его центроида — характеристическое свойство центроида.

Также, из этой теоремы следует формула для медианы тетраэдра.

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.67.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488с. стр.344-345.
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Ловушка для треугольника. В.Дубровский, В.Сендеров (рассматриваются обобщения).
• Мадер В.В. Полифония доказательств. Учеб.пособие. М.: Мнемозина, 2009. 344 с.