Теорема косинусов

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами $a,b,c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствия

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

В частности,

• Если $b^2+c^2-a^2>0$, угол α — острый
• Если $b^2+c^2-a^2=0$, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
• Если $b^2+c^2-a^2<0$, угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде:

$a^2=(b+c{)}^2-4\cdot b\cdot c\cdot {\cos }^2(\alpha /2)$,

$a^2=(b-c{)}^2+4\cdot b\cdot c\cdot {\sin }^2(\alpha /2)$.

• Находя из двух последних формул в явном виде $\cos (\alpha /2)$ и $\sin (\alpha /2)$, получим известные формулы геометрии:

  $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$, $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$, $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$, где p — полупериметр.

• Наконец, используя правые части формул для $\cos (\alpha /2)$ и $\sin (\alpha /2)$ и известную формулу площади треугольника: $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$, а также известную формулу синуса двойного угла $\sin \alpha =2\sin (\alpha /2)\cos (\alpha /2)$ после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: $S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

$\alpha =\arccos \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

$\beta =\arccos \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$

$\gamma =\arccos \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.Шаблон:Rp Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
• Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

  $A{C}^2+B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2.$

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве $E$ задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть $\Vert \overrightarrow{a}\Vert =\sqrt{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a})}$. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом: Шаблон:Рамка Теорема.
${\Vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\Vert }^2={\Vert \overrightarrow{a}\Vert }^2+{\Vert \overrightarrow{b}\Vert }^2-2(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество $\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos \mathrm{\angle }B-2ac\cos \omega -2bc\cos \mathrm{\angle }C$, где $\omega$ — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos \mathrm{\angle }B+2ac\cos (\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }D)-2bc\cos \mathrm{\angle }C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под $w$ подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами $a$ и $c$ зная все ребра тетраэдра:

$\cos w=(b^2+d^2-e^2-f^2)/2ac$

Где $b$ и $d$, $e$ и $f$ пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов: Шаблон:Теорема

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
• Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

$S_i{S}_j\cos \mathrm{\angle }A=\frac{(-1{)}^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!{)}^2}\left|\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 0& d_{12}^2& d_{13}^2& \dots & d_{1(n+1)}^2\\ 1& d_{21}^2& 0& d_{23}^2& \dots & d_{2(n+1)}^2\\ 1& d_{31}^2& d_{32}^2& 0& \dots & d_{3(n+1)}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& d_{(n+1)1}^2& d_{(n+1)2}^2& d_{(n+1)3}^2& \dots & 0\end{array}\right|$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$.

$\mathrm{\angle }A$ — угол между гранями $S_i$ и $S_j$, $S_i$ — грань, находящаяся против вершины i, а $d_{ij}$ — расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Литература

• Шаблон:Книга:Понарин Я. П.: Элементарная геометрия