Теорема котангенсов

Общий вид треугольника

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка

Пусть

$a,b,c$ — длины трёх сторон треугольника,

$A,B,C$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон $a,b,c$,

$r$ — радиус вписанной окружности треугольника и

$p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\frac{p-a}{r}$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}=\frac{p-b}{r}$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\frac{p-c}{r}$,

или эквивалентно:

$\frac{p-a}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(A/2)}=\frac{p-b}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(B/2)}=\frac{p-c}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(C/2)}=r$.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен разности отношения полупериметра и длины противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности $r=\sqrt{\frac{1}{p}(p-a)(p-b)(p-c)}$. Далее, так как площадь треугольника $S=pr$, из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции