Теорема тангенсов

Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

История

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (Шаблон:Lang-la), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.

Формулировка

Рис. 1. Треугольник

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}.$

Доказательство

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Пусть

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

откуда

$a=d\sin \alpha$

$b=d\sin \beta .$

Отсюда следует, что

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Используя известное тригонометрическое тождество

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \frac{\alpha \pm \beta }{2}\cos \frac{\alpha \mp \beta }{2},$

получаем:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }=\frac{2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}.◼$

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha \pm \beta }{2}=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$.

Другое доказательство с использованием формул Мольвейде

• Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{C}{2}};$

$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{A-B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}.$

где $A,B,C$ — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и $a,b,c$ — длины сторон соответственно между вершинами $B$ и $C$, $C$ и $A$, $A$ и $B$.

• Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}}.$

• С учетом того, что $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}$, окончательно имеем:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}},$

что и требовалось доказать.

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формула половины стороны
• Формулы Мольвейде