Решение треугольников

Исторический термин «решение треугольников» (Шаблон:Lang-lat) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известнымШаблон:Sfn. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь Шаблон:Итд), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) Шаблон:Итп Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон $a,b,c$) и 3 угловые ($\alpha ,\beta ,\gamma$). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейнаяШаблон:Sfn.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• две стороны и угол напротив одной из них;
• сторона и два прилежащих угла;
• сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольниковШаблон:Sfn:

Теорема косинусов

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Теорема синусов

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Сумма углов треугольника

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синусШаблон:Sfn. Например, если $\sin \beta =0,5,$ то угол $\beta$ может быть как $30^{\circ }$, так и $150^{\circ }$, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем $180^{\circ }$.

Заданы три стороны

Три стороны

Пусть заданы длины всех трёх сторон $a,b,c$. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

$a<b+c,b<a+c,c<a+b.$

Чтобы найти углы $\alpha ,\beta$, надо воспользоваться теоремой косинусов:

$\alpha =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\beta =\arccos \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна $180^{\circ }:$

$\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).$

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть для определённости известны длины сторон $a,b$ и угол $\gamma$ между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны $c$ применяется теорема косинусов:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }.$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

$\alpha =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\arccos \frac{b-a\cos \gamma }{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }}.$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$.

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны $b,c$ и угол $\beta$. Тогда уравнение для угла $\gamma$ находится из теоремы синусов:

$\sin \gamma =\frac{c}{b}\sin \beta .$

Для краткости обозначим $D=\frac{c}{b}\sin \beta$ (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от DШаблон:SfnШаблон:Sfn.

1. Задача не имеет решения (сторона $b$ «не достаёт» до линии $BC$) в двух случаях: если $D>1$ или если угол $\beta ⩾90^{\circ }$ и при этом $b⩽c.$
2. Если $D=1,$ существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: $\gamma =\arcsin D=90^{\circ }.$

Два возможных решения

3. Если $D<1,$ то возможны 2 варианта.
   1. Если $b<c$, то угол $\gamma$ имеет два возможных значения: острый угол $\gamma =\arcsin D$ и тупой угол ${\gamma }^{\prime }=180^{\circ }-\gamma$. На рисунке справа первому значению соответствуют точка $C$, сторона $b$ и угол $\gamma$, а второму значению — точка $C^{\prime }$, сторона $b^{\prime }=b$ и угол ${\gamma }^{\prime }$.
   2. Если $b⩾c$, то $\beta ⩾\gamma$ (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для $\gamma$ исключён и решение $\gamma =\arcsin D$ единственно.

Третий угол определяется по формуле $\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

$a=b\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла

Пусть задана сторона $c$ и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше $180^{\circ }$. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы $\alpha ,\beta$, то $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов:

$a=c\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma },b=c\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }.$

Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой $C$, гипотенузу — $c$. Катеты обозначаются $a$ и $b$, а величины противолежащих им углов — $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

$c^2=a^2+b^2$

и определения основных тригонометрических функций:

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{a}{c},\cos \alpha =\sin \beta =\frac{b}{c},$

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}\beta =\frac{a}{b},\mathrm{ctg}\alpha =\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}.$

Ясно также, что углы $\alpha$ и $\beta$ — острые, так как их сумма равна $90^{\circ }$. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

$c=\sqrt{a^2+b^2}.$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

$\alpha =\mathrm{arctg}\frac{a}{b},\beta =\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$

или же по только что найденной гипотенузе:

$\alpha =\arcsin \frac{a}{c}=\arccos \frac{b}{c},\beta =\arcsin \frac{b}{c}=\arccos \frac{a}{c}.$

Катет и гипотенуза

Пусть известны катет $b$ и гипотенуза $c$ — тогда катет $a$ находится из теоремы Пифагора:

$a=\sqrt{c^2-b^2}.$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол

Пусть известны катет $b$ и прилежащий к нему угол $\alpha$.

Гипотенуза $c$ находится из соотношения

$c=\frac{b}{\cos \alpha }.$

Катет $a$ может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

$a=b\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha .$

Острый угол $\beta$ может быть найден как

$\beta =90^{\circ }-\alpha .$

Катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет $b$ и противолежащий ему угол $\beta$.

Гипотенуза $c$ находится из соотношения

$c=\frac{b}{\sin \beta }.$

Катет $a$ и второй острый угол $\alpha$ могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол

Пусть известны гипотенуза $c$ и острый угол $\beta$.

Острый угол $\alpha$ может быть найден как

$\alpha =90^{\circ }-\beta .$

Катеты определяются из соотношений

$a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,$

$b=c\sin \beta =c\cos \alpha .$

Решение сферических треугольников

Шаблон:Сдвоенное изображение Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника $a,b,c$ принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов $\alpha +\beta +\gamma$ зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии НепераШаблон:Sfn и формула половины стороныШаблон:Sfn.

Заданы три стороны

Три стороны

Если даны (в угловых единицах) стороны $a,b,c$, то углы треугольника определяются из теоремы косинусовШаблон:Sfn:

$\alpha =\arccos \left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right)$,

$\beta =\arccos \left(\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}\right)$,

$\gamma =\arccos \left(\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\right)$,

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть заданы стороны $a,b$ и угол $\gamma$ между ними. Сторона $c$ находится по теореме косинусов:

$c=\arccos (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma )$

Углы $\alpha ,\beta$ можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

$\alpha =\mathrm{arctg}\frac{2\sin a}{\mathrm{tg}(\frac{\gamma }{2})\sin (b+a)+\mathrm{ctg}(\frac{\gamma }{2})\sin (b-a)},$

$\beta =\mathrm{arctg}\frac{2\sin b}{\mathrm{tg}(\frac{\gamma }{2})\sin (a+b)+\mathrm{ctg}(\frac{\gamma }{2})\sin (a-b)}.$

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними

Пусть заданы стороны $b,c$ и угол $\beta$. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

$b>\arcsin (\sin c\sin \beta ).$

Угол $\gamma$ получается из теоремы синусов:

$\gamma =\arcsin \left(\frac{\sin c\sin \beta }{\sin b}\right).$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при $b<c$ получаются два решения: $\gamma$ и $180^{\circ }-\gamma$.

Остальные величины можно найти из формул аналогии НепераШаблон:Sfn:

$a=2\mathrm{arctg}\{\mathrm{tg}(\frac{1}{2}(b-c))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\beta +\gamma ))}{\sin (\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))}\}$,

$\alpha =2\mathrm{arcctg}\{\mathrm{tg}(\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(b+c))}{\sin (\frac{1}{2}(b-c))}\}$.

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы

В этом варианте задана сторона $c$ и углы $\alpha ,\beta$. Угол $\gamma$ определяется по теореме косинусовШаблон:Sfn:

$\gamma =\arccos (\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).$

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

$a=\mathrm{arctg}\left\{\frac{2\sin \alpha }{\mathrm{ctg}(c/2)\sin (\beta +\alpha )+\mathrm{tg}(c/2)\sin (\beta -\alpha )}\right\}$

$b=\mathrm{arctg}\left\{\frac{2\sin \beta }{\mathrm{ctg}(c/2)\sin (\alpha +\beta )+\mathrm{tg}(c/2)\sin (\alpha -\beta )}\right\}$

или, если использовать вычисленный угол $\gamma$, по теореме косинусов:

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right),$

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }\right).$

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона $a$ и углы $\alpha ,\beta$. Сторона $b$ определяется по теореме синусовШаблон:Sfn:

$b=\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Если угол для стороны $a$ острый и $\alpha >\beta$, существует второе решение:

$b=\pi -\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

$c=2\mathrm{arctg}\{\mathrm{tg}(\frac{1}{2}(a-b))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\alpha +\beta ))}{\sin (\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))}\}.$

$\gamma =2\mathrm{arcctg}\{\mathrm{tg}(\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(a+b))}{\sin (\frac{1}{2}(a-b))}\}.$

Заданы три угла

Три угла

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right)$,

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }\right)$,

$c=\arccos \left(\frac{\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }\right)$.

Другой вариант: использование формулы половины углаШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Решение прямоугольных сферических треугольников

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол $C$) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношенийШаблон:Sfn:

$\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\mathrm{tg}b\cdot \mathrm{ctg}\beta ,$

$\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{ctg}\alpha ,$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b=\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\beta ,$

$\mathrm{tg}a=\sin b\cdot \mathrm{tg}\alpha ,$

$\mathrm{tg}b=\mathrm{tg}c\cdot \cos \alpha ,$

$\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\mathrm{tg}b\cdot \mathrm{ctg}c,$

$\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{ctg}c.$

Вариации и обобщения

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

• Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий уголШаблон:Sfn.
• Задача Снеллиуса-Потенота.
• Задача Томаса ФинкеШаблон:Sfn: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов $\alpha +\beta$ и отношение противолежащих сторон $a:b$.
• Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Примеры практического применения

Триангуляция

Определение расстояния с помощью триангуляции

Чтобы определить расстояние $d$ от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние $l$ между которыми известно, и измерить углы $\alpha$ и $\beta$ между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольникаШаблон:Sfn:

$d=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}l=\frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }l$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы $\alpha ,\beta$ при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние. Шаблон:Clear

Определение высоты горы

Другой пример: требуется измерить высоту $h$ горы или высокого здания. Известны углы $\alpha ,\beta$ наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии $l$. Из формул того же варианта, что и выше, получаетсяШаблон:Sfn:

$h=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\beta -\alpha )}l=\frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\beta -\mathrm{tg}\alpha }l$

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шареШаблон:Sfn:

Точка $A$: широта ${\lambda }_{\mathrm{A}},$ долгота $L_{\mathrm{A}},$

Точка $B$: широта ${\lambda }_{\mathrm{B}},$ долгота $L_{\mathrm{B}},$

Для сферического треугольника $ABC$, где $C$ — северный полюс, известны следующие величины:

$a=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{B}}$

$b=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{A}}$

$\gamma =L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}}$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

$\mathrm{A}\mathrm{B}=R\arccos \{\sin {\lambda }_{\mathrm{A}}\sin {\lambda }_{\mathrm{B}}+\cos {\lambda }_{\mathrm{A}}\cos {\lambda }_{\mathrm{B}}\cos (L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}})\}$,

где $R$ — радиус Земли.

История

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрииШаблон:Sfn. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольниковШаблон:Sfn: Шаблон:Начало цитаты В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле. Шаблон:Конец цитаты Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке.

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаковШаблон:Sfn. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут.

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных.

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометриюШаблон:Sfn. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших круговШаблон:Sfn. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометровШаблон:Sfn. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинусШаблон:Sfn. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов $\sin n\phi$, $\cos n\phi$ для $n=2,3,4,5$. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теорииШаблон:Sfn. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X векаШаблон:Sfn. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольникаШаблон:Sfn. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утвержденияШаблон:Sfn.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём угламШаблон:Sfn. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"Шаблон:Sfn. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера». Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также

• Признаки подобия треугольников
• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Литература

Теория и алгоритмы

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

История

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга