Мнемоническое правило Непера

Иллюстрация мнемонического правила Непера.

Мнемоническое правило Непера — форма записи основных соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике, лёгкая для запоминания.

Формулировка и обоснование правила

Формулировка

Мнемоническое правило Непера можно сформулировать так:

Шаблон:Рамка Для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника косинус среднего элемента равен произведению котангенсов соседних, а для трёх несмежных элементов косинус элемента, расположенного отдельно от других двух, равен произведению их синусов. При этом вместо катетов берутся их дополнения до 90 градусов, а прямой угол вообще не считается элементом. Шаблон:Конец рамки Два примера:

$\cos B=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\bar{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}c=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(90^{\circ }-a)\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}c=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}a}{\mathrm{t}\mathrm{g}c}$

$\cos B=\sin \bar{b}\sin A=\sin (90^{\circ }-b)\sin A=\cos b\sin A$

Чтобы правило было удобнее применять, рисуют круг, делят его радиусами на пять частей и записывают в них все элементы прямоугольного сферического треугольника за исключением прямого угла в той последовательности, в которой они расположены в треугольнике. Каждый катет помечают горизонтальной чертой над ним или апострофом рядом с ним — знак дополнения катета до 90 градусов. На круге нетрудно найти нужные три элемента и применить к ним мнемоническое правило.

История

Мнемоническое правило Непера названо по имени Джона Непера, который опубликовал его в своём известном сочинении «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614), причём он его привёл в качестве демонстрации применения определённого им в этом труде нового математического понятия логарифм, и обе части равенства в мнемоническом правиле у Непера прологарифмированы. Изящное и наглядное математическое обоснование мнемонического правила Непера с помощью звёздчатого пятиугольника было дано Иоганном Ламбертом в его труде «Дополнения к применению математики и их приложения», увидевшем свет в 1765 году. Позднее звёздчатый пятиугольник на сфере был использован Карлом Гауссом для обоснования этих же (вероятно, он не читал об этом в труде Ламберта) и других свойств, Гаусс назвал его «замечательной пентаграммой» (Шаблон:Lang-la).

Обоснование при помощи звёздчатого пятиугольника соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике оказалось в некоторой степени универсальным методом: Николай Лобачевский использовал последовательность из пяти прямоугольных треугольников для вывода зависимости между элементами прямоугольного треугольника в исследованном им пространстве, впоследствии индийский математик С. Мукопадиайа связал эту последовательность с пятиугольником в том же пространстве, а ещё позднее русский математик Александр Норден установил связь звездчатого пятиугольника на сфере с упомянутым пятиугольником в пространстве Лобачевского.