Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус (обозначение: $\arcsin x;$ число, синус которого равен $x$ )
арккосинус (обозначение: $\arccos x;$ число, косинус которого равен $x$ и т. д.)
арктангенс (обозначение: $arctg x$ ; в иностранной литературе $\arctan x$ )
арккотангенс (обозначение: $arcctg x$ ; в иностранной литературе $arccot x$ или (намного реже) $arccotan x$ )
арксеканс (обозначение: $arcsec x$ )
арккосеканс (обозначение: $arccosec x$ ; в иностранной литературе $arccsc x$ )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от Шаблон:Lang-la — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin^{- 1}, \frac{1}{\sin},$ но они не прижились^[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sinШаблон:Sup, cosШаблон:Sup для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $\arcsin 1 / 2$ означает множество углов $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} \dots (3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}, 39 0^{\circ}, 51 0^{\circ} \dots))$ , синус которых равен $1 / 2$ . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $- 1 ⩽ α ⩽ 1$ все решения уравнения $\sin x = α$ можно представить в виде $x = (- 1)^{n} \arcsin α + π n, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots .$ Шаблон:Sfn

Основное соотношение

\arcsin x + \arccos x = \frac{π}{2}

arctg x + arcctg x = \frac{π}{2}

Функция arcsin

Аркси́нусом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math, выраженного в радианах, для которого $\sin y = x, - \frac{π}{2} ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}, | x | ⩽ 1 .$

Функция $y = \arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

$\sin (\arcsin x) = x$ при $- 1 ⩽ x ⩽ 1,$
$\arcsin (\sin y) = y$ при $- \frac{π}{2} ⩽ y ⩽ \frac{π}{2},$
$D (\arcsin x) = [- 1; 1]$ (область определения),
$E (\arcsin x) = [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ (область значений).

Свойства функции arcsin

$\arcsin (- x) = - \arcsin x$ (функция является нечётной).
$\arcsin x > 0$ при $0 < x ⩽ 1$ .
$\arcsin x = 0$ при $x = 0 .$
$\arcsin x < 0$ при $- 1 ⩽ x < 0 .$
$\arcsin x = \frac{π}{2} - \arccos x .$
$\arcsin x = {\begin{matrix} \arccos \sqrt{1 - x^{2}}, 0 ⩽ x ⩽ 1 \\ - \arccos \sqrt{1 - x^{2}}, - 1 ⩽ x ⩽ 0 \end{matrix}$
$\arcsin x = arctg \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arcsin x = {\begin{matrix} arcctg \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}, 0 < x ⩽ 1 \\ arcctg \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} - π, - 1 ⩽ x < 0 \end{matrix}$

Получение функции arcsin

Дана функция $y = \sin x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y = \arcsin x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[- π / 2; π / 2]$ , на котором функция $y = \sin x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[- π / 2; π / 2]$ существует обратная функция $y = \arcsin x$ , график которой симметричен графику функции $y = \sin x$ относительно прямой $y = x$ .

Функция arccos

Аркко́синусом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math в радианной мере, для которого $\cos y = x, 0 ⩽ y ⩽ π, | x | ⩽ 1 .$

Функция $y = \arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

$\cos (\arccos x) = x$ при $- 1 ⩽ x ⩽ 1,$
$\arccos (\cos y) = y$ при $0 ⩽ y ⩽ π .$
$D (\arccos x) = [- 1; 1]$ (область определения),
$E (\arccos x) = [0; π]$ (область значений).

Свойства функции arccos

$\arccos (- x) = π - \arccos x .$ Функция центрально-симметрична относительно точки $(0; \frac{π}{2}),$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\arccos x > 0$ при $- 1 ⩽ x < 1 .$
$\arccos x = 0$ при $x = 1 .$
$\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x .$
$\arccos x = {\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1 - x^{2}}, 0 ⩽ x ⩽ 1 \\ π - \arcsin \sqrt{1 - x^{2}}, - 1 ⩽ x ⩽ 0 \end{matrix}$
$\arccos x = arcctg \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arccos x = {\begin{matrix} arctg \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}, 0 < x ⩽ 1 \\ π + arctg \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}, - 1 ⩽ x < 0 \end{matrix}$
$\arccos x = 2 \arcsin \sqrt{\frac{1 - x}{2}}$
$\arccos x = 2 \arccos \sqrt{\frac{1 + x}{2}}$
$\arccos x = 2 arctg \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = 2 arctg \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{1 + x}$

Получение функции arccos

Дана функция $y = \cos x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y = \arccos x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0; π]$ , на котором функция $y = \cos x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0; π]$ существует обратная функция $y = \arccos x$ , график которой симметричен графику функции $y = \cos x$ относительно прямой $y = x$ .

Функция arctg

Аркта́нгенсом числа Шаблон:Math называется такое значение угла $y,$ выраженное в радианах, для которого $tg y = x, - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2} .$

Функция $y = arctg x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

$tg (arctg x) = x$ при $x \in ℝ,$
$arctg (tg y) = y$ при $- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2},$
$D (arctg x) = (- \infty; \infty)$ (область определения),
$E (arctg x) = (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ (область значений).

Свойства функции arctg

$arctg (- x) = - arctg x$ (функция является нечётной).
$arctg x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$
$arctg x = {\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x ⩾ 0 \\ - \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x ⩽ 0 \end{matrix}$
$arctg x = 2 arctg \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1} = 2 arctg \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - 1}{x} .$
$arctg x = π / 2 - arcctg x .$
$arctg x = {\begin{matrix} arcctg \frac{1}{x}, x > 0 \\ arcctg \frac{1}{x} - π, x < 0 \end{matrix}$
$arctg x = - i arth i x$ , где $arth$ — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
$arth x = i arctg i x .$

Получение функции arctg

Дана функция $y = tg x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y = arctg x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(- π / 2; π / 2)$ , на котором функция $y = tg x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(- π / 2; π / 2)$ существует обратная функция $y = arctg x$ , график которой симметричен графику функции $y = tg x$ относительно прямой $y = x$ .

Функция arcctg

Арккота́нгенсом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого $ctg y = x, 0 < y < π .$

Функция $y = arcctg x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

$ctg (arcctg x) = x$ при $x \in ℝ,$
$arcctg (ctg y) = y$ при $0 < y < π,$
$D (arcctg x) = (- \infty; \infty),$
$E (arcctg x) = (0; π) .$

Свойства функции arcctg

$arcctg (- x) = π - arcctg x .$ График функции центрально-симметричен относительно точки $(0; \frac{π}{2}) .$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$arcctg x > 0$ при любых $x .$
$arcctg x = \arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$
$arcctg x = {\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x ⩾ 0 \\ π - \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x ⩽ 0 \end{matrix}$
$arcctg x = 2 arctg (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2 arcctg (\sqrt{x^{2} + 1} + x) .$
$arcctg x = π / 2 - arctg x .$
$arcctg x = {\begin{matrix} arctg \frac{1}{x}, x > 0 \\ arctg \frac{1}{x} + π, x < 0 \end{matrix}$

Получение функции arcctg

Дана функция $y = ctg x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y = arcctg x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0; π)$ , на котором функция $y = ctg x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0; π)$ существует обратная функция $y = arcctg x$ , график которой симметричен графику функции $y = ctg x$ относительно прямой $y = x$ .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $x \to - x$ ) и сместить вверх на Шаблон:Math; это вытекает из вышеупомянутой формулы $arcctg x = arctg (- x) + π / 2 .$

Функция arcsec

Арксе́кансом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого $\sec y = x, | x | ⩾ 1, 0 ⩽ y ⩽ π .$

Функция $y = arcsec x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

$\sec (arcsec x) = x$ при $| x | ⩾ 1,$
$arcsec (\sec y) = y$ при $0 ⩽ y ⩽ π .$
$D (arcsec x) = (- \infty; - 1] \cup [1, \infty)$ (область определения),
$E (arcsec x) = [0; \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}; π]$ (область значений).

Свойства функции arcsec

$arcsec (- x) = π - arcsec x .$ График функции центрально-симметричен относительно точки $(0; \frac{π}{2}) .$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$arcsec x ⩾ 0$ при любых $x .$
$arcsec x = {\begin{matrix} \arcsin \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}, x ⩾ 1 \\ π + \arcsin \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}, x ⩽ - 1 \end{matrix}$
$arcsec x = \frac{π}{2} - arccosec x .$
$arcsec x = \arccos \frac{1}{x} .$

Функция arccosec

Арккосе́кансом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого $cosec y = x, | x | ⩾ 1, - π / 2 ⩽ y ⩽ π / 2 .$

Функция $y = arccosec x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

$cosec (arccosec x) = x$ при $| x | ⩾ 1,$
$arccosec (cosec y) = y$ при $- π / 2 ⩽ y ⩽ π / 2 .$
$D (arccosec x) = (- \infty; - 1] \cup [1, \infty)$ (область определения),
$E (arccosec x) = [- \frac{π}{2}; 0) \cup (0; \frac{π}{2}]$ (область значений).

Свойства функции arccosec

$arccosec (- x) = - arccosec x$ (функция является нечётной).
$arccosec x = arctg \frac{sgn x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = {\begin{matrix} arctg \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}, x > 1 \\ - arctg \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}, x < - 1 \end{matrix}$
$arccosec x = π / 2 - arcsec x .$
$arccosec x = \arcsin \frac{1}{x} .$

Разложение в ряды

$\arcsin x = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{5}}{40} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{4^{n} (n!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1}$ для всех $| x | \leq 1$ ^[3]
$\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x = \frac{π}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{4^{n} (n!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1}$ для всех $| x | \leq 1$
$arctg x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{2 n - 1} x^{2 n - 1}$ для всех $| x | \leq 1$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

Функция $f (x)$	Производная $f^{'} (x)$	Примечание
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	Шаблон:Hider
$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	Шаблон:Hider
$a r c t g x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	Шаблон:Hider
$a r c c t g x$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$	Шаблон:Hider
$a r c s e c x$	$\frac{1}{\| x \| \sqrt{x^{2} - 1}}$	Шаблон:Hider
$a r c c o s e c x$	$- \frac{1}{\| x \| \sqrt{x^{2} - 1}}$	Шаблон:Hider

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных Шаблон:Math:

\begin{matrix} \int \arcsin x d x & = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C, \\ \int \arccos x d x & = x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C, \\ \int arctg x d x & = x arctg x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C, \\ \int arcctg x d x & = x arcctg x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C, \\ \int arcsec x d x & = x arcsec x - \ln (x (1 + \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}})) + C, \\ \int arccosec x d x & = x arccosec x + \ln (x (1 + \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}})) + C . \end{matrix}

Для действительных Шаблон:Math ≥ 1:

\begin{matrix} \int arcsec x d x & = x arcsec x - \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) + C, \\ \int arccosec x d x & = x arccosec x + \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) + C . \end{matrix}

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $α$ , то

$α = \arcsin (a / c) = \arccos (b / c) = arctg (a / b) = arccosec (c / a) = arcsec (c / b) = arcctg (b / a) .$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

\arcsin z = - i \ln (i z + \sqrt{1 - z^{2}}) = \frac{π}{2} + i \ln (z + \sqrt{z^{2} - 1}) = - i arsh i z,

\arccos z = \frac{π}{2} + i \ln (i z + \sqrt{1 - z^{2}}) = - i arch z,

arctg z = \frac{i}{2} (\ln (1 - i z) - \ln (1 + i z)) = - i arth i z,

arcctg z = \frac{i}{2} (\ln (\frac{z - i}{z}) - \ln (\frac{z + i}{z})) = i arcth i z,

arcsec z = \arccos (z^{- 1}) = \frac{π}{2} + i \ln (\sqrt{1 + \frac{1}{z^{2}}} + \frac{1}{z}),

arccosec z = \arcsin (z^{- 1}) = - i \ln (\sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}} + \frac{i}{z}) .

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:MathWorld
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
Шаблон:Из БСЭ — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Шаблон:Книга
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Шаблон:Тригонометрия

Шаблон:Спам-ссылки

↑ Шаблон:Книга
↑ Здесь знак Шаблон:Sup определяет функцию Шаблон:Math обратную функции Шаблон:Math
↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой $\arcsin x = \arccos \sqrt{1 - x^{2}},$ где $\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x$

[1] Шаблон:Книга

[2] Здесь знак Шаблон:Sup определяет функцию Шаблон:Math обратную функции Шаблон:Math

[3] При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой $\arcsin x = \arccos \sqrt{1 - x^{2}},$ где $\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x$

[1]

[2]

[3]

Обратные тригонометрические функции

Содержание

Основное соотношение