Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы Шаблон:Math аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности Шаблон:Math. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции	Обозначение в русской литературе	Обозначение в английской литературе
ареасинус	arsh	arsinh, sinh−1
ареакосинус	arch	arcosh, cosh−1
ареатангенс	arth	artanh, tanh−1
ареакотангенс	arcth	arcoth, coth−1
ареасеканс	arsch, arsech	arsech, sech−1
ареакосеканс	arcsch	arcsch, csch−1

Определения функций

Ареасинус для действительного аргумента

Ареакосинус для действительного аргумента

Ареатангенс для действительного аргумента

Ареакотангенс для действительного аргумента

Ареасеканс для действительного аргумента

Ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

• ареасинус

$\mathrm{arsh}z=\ln (z+\sqrt{z^2+1});$

• ареакосинус

$\mathrm{arch}z=\ln (z+\sqrt{z^2-1});$

• ареатангенс

$\mathrm{arth}z=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+z}{1-z}\right);$

• ареакотангенс

$\mathrm{arcth}z=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{z+1}{z-1}\right);$

• ареасеканс

$\mathrm{arsech}z=\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}-1});$

• ареакосеканс

$\mathrm{arcsch}z=\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}).$

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть $\sqrt{z}=\sqrt{r}{e}^{i\phi /2},$ если представить комплексное число Шаблон:Math как $z=r{e}^{i\phi }$ при $-\pi <\phi \le \pi$), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например $\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1},$ которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsh}x& =x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arch}x& =\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )\\ & =\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arth}x& =x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsh}\frac{1}{x}& =x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsech}x=\mathrm{arch}\frac{1}{x}& =\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )\\ & =\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcth}x=\mathrm{arth}\frac{1}{x}& =x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1.\end{array}$

Асимптотическое разложение Шаблон:Math даётся формулой

$\mathrm{arsh}x=\ln 2x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{\left(2n-1\right)!!}{2n\left(2n\right)!!}\frac{1}{x^{2n}}.$

Производные

Функция $f(x)$	Производная $f^{\prime }(x)$	Примечание
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{1-x^2}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{1-x^2}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$-\frac{1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$-\frac{1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

Для действительных Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\mp \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\mp \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0.\end{array}$

Пример дифференцирования: если Шаблон:Math, то:

$\frac{d\mathrm{arsh}x}{dx}=\frac{d\theta }{d\mathrm{sh}\theta }=\frac{1}{\mathrm{ch}\theta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

$\begin{array}{cc}& \mathrm{sh}(\mathrm{arch}x)=\sqrt{x^2-1},|x|>1;\\ & \mathrm{sh}(\mathrm{arth}x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1;\\ & \mathrm{ch}(\mathrm{arsh}x)=\sqrt{1+x^2};\\ & \mathrm{ch}(\mathrm{arth}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1;\\ & \mathrm{th}(\mathrm{arsh}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}};\\ & \mathrm{th}(\mathrm{arch}x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x},|x|>1.\end{array}$

Дополнительные формулы

$\mathrm{arsh}u\pm \mathrm{arsh}v=\mathrm{arsh}(u\sqrt{1+v^2}\pm v\sqrt{1+u^2}).$

$\mathrm{arch}u\pm \mathrm{arch}v=\mathrm{arch}(uv\pm \sqrt{(u^2-1)(v^2-1)}).$

$\mathrm{arth}u\pm \mathrm{arth}v=\mathrm{arth}\left(\frac{u\pm v}{1\pm uv}\right).$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsh}u+\mathrm{arch}v& =\mathrm{arsh}(uv+\sqrt{(1+u^2)(v^2-1)})\\ & =\mathrm{arch}(v\sqrt{1+u^2}+u\sqrt{v^2-1}).\end{array}$

$\begin{array}{ccc}2\mathrm{arch}x& =\mathrm{arch}(2x^2-1),& x\ge 1;\\ 4\mathrm{arch}x& =\mathrm{arch}(8x^4-8x^2+1),& x\ge 1;\\ 2\mathrm{arsh}x& =\mathrm{arch}(2x^2+1),& x\ge 0;\\ 4\mathrm{arsh}x& =\mathrm{arch}(8x^4+8x^2+1),& x\ge 0.\\ \end{array}$

См. также

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Таблица интегралов обратных гиперболических функций

Источники

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки

• Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld
• Inverse hyperbolic functions