Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

$\mathrm{sh}x$

$\mathrm{ch}x$

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

(в англоязычной литературе обозначается $\sinh x$)

• гиперболический косинус:

$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

(в англоязычной литературе обозначается $\cosh x$)

• гиперболический тангенс:

$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

(в англоязычной литературе обозначается $\tanh x$)

• гиперболический котангенс:

$\mathrm{cth}x=\frac{1}{\mathrm{th}x}=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

(в англоязычной литературе обозначается $\coth x$)

• гиперболический секанс:

$\mathrm{sch}x=\frac{1}{\mathrm{ch}x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$

Гиперболический секанс иногда также обозначается как $\mathrm{sech}x$.

• гиперболический косеканс:

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\mathrm{sh}x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

Геометрическое определение

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png

Определение гиперболических функций через гиперболу

Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения ${\mathrm{ch}}^{2}t-{\mathrm{sh}}^{2}t=1$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $x^2-y^2=1$ ($x=\mathrm{ch}t$, $y=\mathrm{sh}t$). При этом аргумент $t=2S$, где $S$ — площадь криволинейного треугольника $OQR$, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $OX$, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: $x=t,y=f(t)$, где $f(t)$ — ордината точки гиперболы, соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью $S=t/2$. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$\mathrm{sh}x=-i\sin (ix),\mathrm{ch}x=\cos (ix),\mathrm{th}x=-i\mathrm{tg}(ix)$.

$\mathrm{sh}(ix)=i\sin x,\mathrm{ch}(ix)=\cos x,\mathrm{th}(ix)=i\mathrm{tg}x$.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

1. ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1.$

1. Чётность/нечётность:
   1. $\mathrm{sh}(-x)=-\mathrm{sh}x.$
   2. $\mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}x.$
   3. $\mathrm{th}(-x)=-\mathrm{th}x.$
   4. $\mathrm{cth}(-x)=-\mathrm{cth}x.$
   5. $\mathrm{sch}(-x)=\mathrm{sch}x.$
   6. $\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x.$
2. Формулы сложения:
   1. $\mathrm{sh}(x\pm y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{ch}x.$
   2. $\mathrm{ch}(x\pm y)=\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{sh}x.$
   3. $\mathrm{th}(x\pm y)=\frac{\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y}{1\pm \mathrm{th}x\mathrm{th}y}.$
   4. $\mathrm{cth}(x\pm y)=\frac{1\pm \mathrm{cth}x\mathrm{cth}y}{\mathrm{cth}x\pm \mathrm{cth}y}.$
3. Формулы двойного аргумента:
   1. $\mathrm{sh}2x=2\mathrm{ch}x\mathrm{sh}x=\frac{2\mathrm{th}x}{1-{\mathrm{th}}^{2}x}.$
   2. $\mathrm{ch}2x={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x=2{\mathrm{ch}}^{2}x-1=1+2{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{1+{\mathrm{th}}^{2}x}{1-{\mathrm{th}}^{2}x}.$
   3. $\mathrm{th}2x=\frac{2\mathrm{th}x}{1+{\mathrm{th}}^{2}x}.$
   4. $\mathrm{cth}2x=\frac{1}{2}(\mathrm{th}x+\mathrm{cth}x).$
   5. $\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{ch}2x-1}{\mathrm{sh}2x}=\frac{\mathrm{sh}2x}{1+\mathrm{ch}2x}.$
   6. $\mathrm{ch}2x\pm \mathrm{sh}2x=(\mathrm{sh}x\pm \mathrm{ch}x{)}^2.$
4. Формулы кратных аргументов:
   1. $\mathrm{sh}3x=4{\mathrm{sh}}^{3}x+3\mathrm{sh}x.$
   2. $\mathrm{ch}3x=4{\mathrm{ch}}^{3}x-3\mathrm{ch}x.$
   3. $\mathrm{th}3x=\frac{3+{\mathrm{th}}^{2}x}{1+3{\mathrm{th}}^{2}x}.$
   4. $\mathrm{sh}5x=16{\mathrm{sh}}^{5}x+20{\mathrm{sh}}^{3}x+5\mathrm{sh}x.$
   5. $\mathrm{ch}5x=16{\mathrm{ch}}^{5}x-20{\mathrm{ch}}^{3}x+5\mathrm{ch}x.$
   6. $\mathrm{th}5x=\mathrm{th}x\frac{{\mathrm{th}}^{4}x+10{\mathrm{th}}^{2}x+5}{5{\mathrm{th}}^{4}x+10{\mathrm{th}}^{2}x+1}.$
5. Произведения:
   1. $\mathrm{sh}x\mathrm{sh}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)-\mathrm{ch}(x-y)}{2}.$
   2. $\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y=\frac{\mathrm{sh}(x+y)+\mathrm{sh}(x-y)}{2}.$
   3. $\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)+\mathrm{ch}(x-y)}{2}.$
   4. $\mathrm{th}x\mathrm{th}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)-\mathrm{ch}(x-y)}{\mathrm{ch}(x+y)+\mathrm{ch}(x-y)}.$
6. Суммы:
   1. $\mathrm{sh}x\pm \mathrm{sh}y=2\mathrm{sh}\frac{x\pm y}{2}\mathrm{ch}\frac{x\mp y}{2}.$
   2. $\mathrm{ch}x+\mathrm{ch}y=2\mathrm{ch}\frac{x+y}{2}\mathrm{ch}\frac{x-y}{2}.$
   3. $\mathrm{ch}x-\mathrm{ch}y=2\mathrm{sh}\frac{x+y}{2}\mathrm{sh}\frac{x-y}{2}.$
   4. $\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y=\frac{\mathrm{sh}(x\pm y)}{\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y}.$
7. Формулы понижения степени:
   1. ${\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x+1}{2}.$
   2. ${\mathrm{sh}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x-1}{2}.$
8. Разложение на множители:
   1. $2(1+\mathrm{ch}x)=(1+e^x)(1+e^{-x})=1+e^x+1+e^{-x}$
   2. $2(1-\mathrm{ch}x)=(1-e^x)(1-e^{-x})=1-e^x+1-e^{-x}$
9. Производные:

Функция $f(x)$	Производная $f^{\prime }(x)$	Примечание
$\mathrm{s}\mathrm{h}x$	$\mathrm{c}\mathrm{h}x$	Шаблон:Hider
$\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$\mathrm{s}\mathrm{h}x$	Шаблон:Hider
$\mathrm{t}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}x}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}x$	$-\frac{1}{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}x}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$-\frac{sh(x)}{c{h}^2(x)}$	Шаблон:Hider
$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$-\frac{ch(x)}{s{h}^2(x)}$	Шаблон:Hider

1. Интегралы:

   См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

   1. $\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C.$
   2. $\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C.$
   3. $\int \mathrm{th}xdx=\ln \mathrm{ch}x+C.$
   4. $\int \frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}dx=\mathrm{th}x+C.$
   5. $\int \frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}dx=-\mathrm{cth}x+C.$
   6. $\mathrm{sh}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{ch}tdt.$
   7. $\mathrm{ch}x=1+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sh}tdt.$
   8. $\mathrm{th}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{{\mathrm{ch}}^{2}t}.$
2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
   1. $\mathrm{sh}x=\frac{2\mathrm{th}\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}$
   2. $\mathrm{ch}x=\frac{1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}$
   3. $\mathrm{th}x=\frac{2\mathrm{th}\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}$
   4. $\mathrm{cth}x=\frac{1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}{2\mathrm{th}\frac{x}{2}}$
   5. $\mathrm{sch}x=\frac{1-{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}$
   6. $\mathrm{csch}x=\frac{1-{\mathrm{th}}^2\frac{x}{2}}{2\mathrm{th}\frac{x}{2}}$

Неравенства

Для всех $x\in ℝ$ выполняется:

1. $0\le \mathrm{ch}x-1\le |\mathrm{sh}x|<\mathrm{ch}x$
2. $|\mathrm{th}x|<1$

Разложение в степенные ряды

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mathrm{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{cth}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\dots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<|x|<\pi$ (Ряд Лорана)

$\mathrm{sch}x=\frac{1}{\mathrm{ch}x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}$

Здесь $B_{2n}$ — числа Бернулли, $E_{2n}$ — числа Эйлера.

Графики

Файл:Гиперфункции.png

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

sh, ch и th

csch, sech и cth

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $z=i\pi (n+1/2)$, где $n$ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $z=i\pi n$, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Шаблон:Main Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от Шаблон:Lang-la — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

• $\mathrm{arsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
• $\mathrm{arch}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1$ — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
• $\mathrm{arth}x=\ln \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x};|x|<1$ — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
• $\mathrm{arcth}x=\ln \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1};|x|>1$ — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
• $\mathrm{arsch}x=\ln \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x};0<x\le 1$ — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение $y=-\ln \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$ также удовлетворяет уравнению $\mathrm{sch}y=x$, однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
• $\mathrm{arcsch}x=\ln \frac{1+\mathrm{sgn}x\sqrt{1+x^2}}{x}=\{\begin{array}{c}\ln \frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},x<0\\ \ln \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},x>0\end{array}$ — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

Графики

Файл:Ареафункции.png

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$\mathrm{Arsh}x=-i\mathrm{Arcsin}(-ix),$

$\mathrm{Arsh}(ix)=i\mathrm{Arcsin}x,$

$\mathrm{Arcsin}x=-i\mathrm{Arsh}(ix),$

$\mathrm{Arcsin}(ix)=-i\mathrm{Arsh}(-x),$

$\mathrm{Arccos}x=-i\mathrm{Arch}x,$

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$\mathrm{arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\left|x\right|<1;$

$\mathrm{arch}x=\ln (2x)-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\dots )=\ln (2x)-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},x>1;$

$\mathrm{arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},|x|<1.$

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, $\mathrm{Arth}x$ пишут как ${\tanh }^{-1}x$ (причём $(\tanh x{)}^{-1}$ обозначает другую функцию — $\mathrm{cth}x$), и т. д.

История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения $\mathrm{sinhyp}$, $\mathrm{coshyp}$, в русскоязычной литературе закрепились обозначения $\mathrm{sh},\mathrm{ch}$, в англоязычной закрепились $\sinh ,\cosh$.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида $\left(\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right)$ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{h}x& \mathrm{s}\mathrm{h}x\\ \mathrm{s}\mathrm{h}x& \mathrm{c}\mathrm{h}x\end{array}\right)$ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $y=a\mathrm{c}\mathrm{h}\frac{x}{a}$ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• БСЭ: Знаки математические
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)