Функция Гудермана

Функция Гудермана с асимптотами $y=\pm \pi /2$, показанными синим цветом

Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́да) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается $\mathrm{gd}x,\mathrm{amph}x$ или $\gamma (x).$ Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.

Определение и свойства

Гудерманиан определяется следующим образом:

$\mathrm{gd}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}t}.$

Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:

$\mathrm{gd}x=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})=2\mathrm{arctg}{e}^x-\frac{\pi }{2}=\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}x)=\arcsin (\mathrm{th}x).$

Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции: Шаблон:Кол

$\mathrm{th}\frac{x}{2}=\mathrm{tg}\frac{\mathrm{gd}x}{2}$

$\mathrm{sh}x=\mathrm{tg}(\mathrm{gd}x)$

$\mathrm{ch}x=\sec (\mathrm{gd}x)$

$\mathrm{th}x=\sin (\mathrm{gd}x)$

$\mathrm{sech}x=\cos (\mathrm{gd}x)$

$\mathrm{csch}x=\mathrm{ctg}(\mathrm{gd}x)$

$\mathrm{cth}x=\mathrm{cosec}(\mathrm{gd}x)$

Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке Шаблон:Math. Значения Шаблон:Math являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к $\pm \mathrm{\infty }.$

Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента Шаблон:Math выполняются тождества:

Функция Гудермана (зелёный) существенно быстрее стремится к асимптоте $\pi /2$ (штриховая линия), чем арктангенс (красный).

$\mathrm{tg}\mathrm{Re}(\mathrm{gd}z)=\frac{\mathrm{sh}x}{\cos y},$

$\mathrm{th}\mathrm{Im}(\mathrm{gd}z)=\frac{\sin y}{\mathrm{ch}x},$

$\mathrm{th}x=\frac{\sin \mathrm{Re}(\mathrm{gd}z)}{\mathrm{ch}\mathrm{Im}(\mathrm{gd}z)},$

$\mathrm{tg}y=\frac{\mathrm{sh}\mathrm{Im}(\mathrm{gd}z)}{\cos \mathrm{Re}(\mathrm{gd}z)},$

а также

$\mathrm{th}x\cdot \mathrm{tg}y=\mathrm{tg}\mathrm{Re}(\mathrm{gd}z)\cdot \mathrm{th}\mathrm{Im}(\mathrm{gd}z).$

Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:

$e^x=\sec \mathrm{gd}x+\mathrm{tg}\mathrm{gd}x=\mathrm{tg}\frac{\pi +2\mathrm{gd}x}{4}=\frac{1+\sin \mathrm{gd}x}{\cos \mathrm{gd}x}.$

Обратная функция

Функция Ламберта (ламбертиан, антигудерманиан), обратная к функции Гудермана

Обратная функция к функции Гудермана:

$\mathrm{arcgd}x={\mathrm{gd}}^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}.$

Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как $\mathrm{lam}x$ или $\mathrm{arcgd}x.$ Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:

$\mathrm{arcgd}x=\mathrm{arch}(\sec x)=\mathrm{arth}(\sin x)=\mathrm{arsh}(\mathrm{tg}x)=\ln ((1+\sin (x))\cdot \sec x)=\ln (\mathrm{tg}x+\sec x)=\ln (\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}))=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right).$

Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{sh}(\mathrm{arcgd}x)& =\mathrm{tg}x;& \mathrm{ch}(\mathrm{arcgd}x)& =\sec x;\\ \mathrm{th}(\mathrm{arcgd}x)& =\sin x;& \mathrm{sch}(\mathrm{arcgd}x)& =\cos x;\\ \mathrm{cth}(\mathrm{arcgd}x)& =\mathrm{cosec}x;& \mathrm{csch}(\mathrm{arcgd}x)& =\mathrm{ctg}x;\\ \mathrm{th}\left(\frac{\mathrm{arcgd}x}{2}\right)& =\mathrm{tg}\frac{x}{2};& \mathrm{cth}\left(\frac{\mathrm{arcgd}x}{2}\right)& =\mathrm{ctg}\frac{x}{2}.\\ \end{array}$

Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале Шаблон:Math. Её область значений лежит в интервале $\pm \mathrm{\infty }.$ Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.

Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:

$\mathrm{gd}(ix)=i\mathrm{arcgd}x,$

откуда вытекают также соотношения

$\mathrm{gd}(i\mathrm{gd}x)=ix,\mathrm{arcgd}(i\mathrm{arcgd}x)=ix.$

Производные, ряды и интегралы

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:

$\frac{d}{dx}\mathrm{gd}x=\mathrm{sech}x,$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcgd}x=\sec x.$

Разложение в ряд:

$\mathrm{gd}x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots ,$

$\mathrm{arcgd}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots$

Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.

Интеграл функции Гудермана:

$\int \mathrm{gd}zdz=-\frac{\pi }{2}z+i(\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(-i{e}^x)-\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(i{e}^x)),$

где Шаблон:Math — дилогарифм.

Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.

Литература

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с.
• Янпольский А. Р. Гиперболические функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1960. С. 47—50.
• Шаблон:ЯнкеЭмдеЛёш
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld