Проекция Меркатора

Карта мира между 85° ю. ш. и 85° с. ш. в проекции Меркатора

Соотношения между площадью каждой страны в проекции Меркатора и истинной площадью

Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.

Карта мира Меркатора 1569 года

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. Однако в реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Другой заметный пример - Россия, несмотря на размер, всего лишь в 1.7 раза больше по площади, чем США, и в 1.8 раза больше по площади, чем Австралия.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки $\lambda$ (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):

$x=c(\lambda -{\lambda }_0).$

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси Шаблон:Math на широте $\theta$ равен просто $c/(R\cos \theta )$ (Шаблон:Math — радиус Земли), то из условия $dyR\cos \theta /c=Rd\theta$ мы получаем выражение для зависимости Шаблон:Math от $\theta$:

$\begin{array}{ccc}y& =& c\ln \mathrm{tg}(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4})\\ & =& c\mathrm{arth}\sin \theta .\end{array}$

(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).

Функция $\mathrm{arth}\sin \theta$ носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как $\mathrm{lam}\theta$ или $\mathrm{arcgd}\theta$ (см. также Интеграл от секанса).

Обратное преобразование (из линейной координаты Шаблон:Math в широту Шаблон:Math) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается $\mathrm{gd}y.$ Обратное преобразование координаты Шаблон:Math в долготу Шаблон:Math является, как и прямое преобразование, линейной функцией:

$\begin{array}{ccc}\theta & =& \mathrm{gd}y=2\mathrm{arctg}\left(e^{y/c}\right)-\frac{1}{2}\pi \\ \\ & =& \mathrm{arctg}(\mathrm{sh}(y/c)),\\ \\ \lambda & =& x/c+{\lambda }_0.\end{array}$

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (Шаблон:Math — большая полуось, Шаблон:Math — малая полуось) в географических координатах

$d{l}^2=\frac{a^{2}d{\lambda }^2}{1+\frac{a^2}{b^2}{\mathrm{tg}}^2\theta }+\frac{b^4}{a^2}\frac{d{\theta }^2}{({\cos }^2\theta +\frac{b^2}{a^2}{\sin }^2\theta {)}^3},$

перейти в ней к координатам Шаблон:Math и Шаблон:Math и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

$\begin{array}{ccc}x& =& c(\lambda -{\lambda }_0)\\ y& =& c[\mathrm{arth}\sin \theta -\epsilon \mathrm{arth}(\epsilon \sin \theta )].\end{array}$

Здесь $\epsilon =\sqrt{a^2-b^2}/a$ — эксцентриситет земного эллипсоида.

Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому $\epsilon$. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

${\theta }_{n+1}=f({\theta }_n,y)$, где ${\theta }_0$ можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.

${\theta }_{n+1}=\arcsin (1-\frac{(1+\sin {\theta }_n)(1-\epsilon \sin {\theta }_n{)}^{\epsilon }}{e^{\frac{2y}{c}}(1+\epsilon \sin {\theta }_n{)}^{\epsilon }})$

См. также

• Шаблон:Iw
• Dell'Arcano del Mare

Ссылки

• Проекция Меркатора. Виртуальная выставка Российской национальной библиотеки
• Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации