Теория возмущений

Теория возмущений — метод приближённого решения задач прикладной математики и теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

$A=A^{(0)}+\epsilon A^{(1)}+{\epsilon }^2{A}^{(2)}+...$

где $A^{(0)}$ — решение невозмущённой задачи, $\epsilon$ — малый параметр. Коэффициенты $A^{(n)}$ находятся путём последовательных приближений, то есть $A^{(n)}$ выражается через $A^{(0)},...,A^{(n-1)}$. Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

Метод теории возмущений основан на теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров.

В небесной механике

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача $N$ тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к $N-1$ независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты $a_i$) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

$a_i(t)=a_i^{(0)}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

$\frac{d{a}_i}{dt}=\epsilon f_i(a_1,a_2,...a_6,t)(*)$

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

$a_i(t)=a_i^{(0)}+\epsilon a_i^{(1)}(t)=a_i^{(0)}+\epsilon \underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_i(a_i^{(0)},\tau )d\tau .$

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

$H=H^{(0)}+V$

где $H^{(0)}$ — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а $V$ — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

$H|{\psi }_n⟩=E_n|{\psi }_n⟩(**)$

в виде разложения в ряд

${\psi }_n={\psi }_n^{(0)}+{\psi }_n^{(1)}+{\psi }_n^{(2)}+...$

$E_n=E_n^{(0)}+E_n^{(1)}+E_n^{(2)}+...(***)$

где ${\psi }_n^{(0)}$ и $E_n^{(0)}$ — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

$H^{(0)}|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|{\psi }_n^{(0)}⟩,$

а число $n$ нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

$(V-E_n^{(1)})|{\psi }_n^{(0)}⟩=(E_n^{(0)}-H^{(0)})|{\psi }_n^{(1)}⟩$

Домножая слева на ${\psi }_m^{(0)}$, и учитывая, что ${\psi }_m^{(0)}$ — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

$E_n^{(1)}=V_{nn}$

${\psi }_n^{(1)}=\sum _{m\ne n}\frac{V_{mn}}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}{\psi }_m^{(0)},$

где $V_{mn}\equiv ⟨{\psi }_m^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩$ — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень $E_n^{(0)}$ невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

В квантовой теории поля

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры $\alpha \approx 1/137$). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по $\alpha$.

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

$T_{inst}=A\exp (-1/g)$, где $g$ — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке $g=0$, а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по $g$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
• Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М., Наука, 1979. - 320 с.