Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров

Шаблон:К удалению Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.Шаблон:Sfn

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУ, учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.

На теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров основан использующийся во всех приложениях теории дифференциальных уравнений метод приближённого решения уравнений, близких к уравнениям, для которых решение известно точно (теория возмущений).

Формулировка

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

где $t$ — независимая скалярная переменная, $\overrightarrow{y}=(y_1,...,y_n)$ — вектор, $\overrightarrow{\mu }=({\mu }_1,...,{\mu }_m)$ — вектор, $\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{y},\overrightarrow{\mu })=(f_1(t,\overrightarrow{y},\overrightarrow{\mu }),...,f_n(t,\overrightarrow{y},\overrightarrow{\mu }))$, — векторная функция вектора $\overrightarrow{y}$, вектора $\overrightarrow{\mu }$ и скаляра $t$, знак $\dot{y}$ означает производную $y$ по $t$.

Если все функции $f_i(t,\overrightarrow{y},\overrightarrow{\mu })$, $i=1,...n$ и все их частные производные до $p$-го $(p⩾1)$ порядка по всем $y_i$ и ${\mu }_k$ непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка $(t,\overrightarrow{y})$ находится в области $G$, а $\left|{\mu }_k\right|<C,k=1,...,m$, где $C$ — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки $(t_0,\overrightarrow{y_0})$ области $G$ можно указать такой интервал $(a,b)$, заключающий внутри себя точку $t_0$, что при всех рассматриваемых ${\mu }_k$ на нём существует одна и только одна система функций

$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{\phi }(t,\overrightarrow{\mu }),$

которые удовлетворяют системе (Шаблон:EquationNote), имеют непрерывные производные до $p$-го порядка по всем $\overrightarrow{\mu }$ и при $t=t_0$ обращаются в $\overrightarrow{y_0}$. Эта теорема остаётся верной и для $p=0$, если функции $\overrightarrow{f}$ удовлетворяют условию Липшица по $\overrightarrow{y}$ с коэффициентом, не зависящим от $\mu$.Шаблон:Sfn

Пояснения

Областью $G$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка $G$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество $G$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного

числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри $G$. Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга