Дилогарифм

Действительная и мнимая части функции ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x)$

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(z)$ и является частным случаем полилогарифма ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(z)$ при $n=2$. Дилогарифм определяется как

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln (1-t)}{t}\mathrm{d}t=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^j}{j^2}.$

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной $z$. Для действительных значений $z=x$ у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от $1$ до $\mathrm{\infty }$. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

$\mathrm{Im}[{\mathrm{Li}}_2(x)]=\{0(x\le 1);-\pi \ln x(x>1)\}$

Функцию ${\mathrm{Li}}_2(z)$ часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815), который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие $-{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(-z)$ и ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(1-z)$. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношения

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(-z)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(z^2)$

${\mathrm{Li}}_2(1-z)+{\mathrm{Li}}_2(1-\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}{\ln }^{2}z$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)=\frac{1}{6}{\pi }^2-\ln z\ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)=-\frac{1}{2}{\ln }^2(1+z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)-{\mathrm{Li}}_2(1-z)+\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(1-z^2)=-\frac{1}{12}{\pi }^2-\ln z\ln (1+z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)+{\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{z})=-\frac{1}{6}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}z$

Для действительных $x>1$,

${\mathrm{Li}}_2(x)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{3}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}x-\mathrm{i}\pi \ln x$

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

${\mathrm{Li}}_2(xy)={\mathrm{Li}}_2(x)+{\mathrm{Li}}_2(y)-{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right)-{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln \left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln \left(\frac{1-y}{1-xy}\right)$

Частные значения

${\mathrm{Li}}_2(0)=0$

${\mathrm{Li}}_2(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2$

${\mathrm{Li}}_2(-1)=-\frac{1}{12}{\pi }^2$

${\mathrm{Li}}_2(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}2$

Используя соотношение между функциями от $x$ и $1/x$, получаем

${\mathrm{Li}}_2(2)=\frac{1}{4}{\pi }^2-\mathrm{i}\pi \ln 2$

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением $\varphi =\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$,

${\mathrm{Li}}_2(-\varphi )=-\frac{1}{10}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2(-{\varphi }^{-1})=-\frac{1}{15}{\pi }^2+\frac{1}{2}{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2({\varphi }^{-1})=\frac{1}{10}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2({\varphi }^{-2})=\frac{1}{15}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

${\mathrm{Li}}_2(\pm \mathrm{i})=-\frac{1}{48}{\pi }^2\pm \mathrm{i}G$

где $G$ — постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{18}{\pi }^2-\frac{1}{6}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{2})+\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{18}{\pi }^2+\ln 2\ln 3-\frac{1}{2}{\ln }^{2}2-\frac{1}{3}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{18}{\pi }^2+2\ln 2\ln 3-2{\ln }^{2}2-\frac{2}{3}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{3})-\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{18}{\pi }^2+\frac{1}{6}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{8})+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}{\ln }^2\left(\frac{9}{8}\right)$

$36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi }^2$

Функции, связанные с дилогарифмом

• Функция Клаузена ${\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,

${\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)=\frac{1}{6}{\pi }^2-\frac{1}{4}\theta (2\pi -\theta )+\mathrm{i}{\mathrm{Cl}}_2(\theta ),(0\le \theta \le 2\pi )$

Таким образом,

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=\mathrm{Im}\left[{\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)\right]=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)-{\mathrm{Li}}_2\left(e^{-\mathrm{i}\theta }\right)]$

• Функция Лобачевского

Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),

$L(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\mathrm{d}\tau \ln |\cos \tau |=-\frac{1}{2}{\mathrm{Cl}}_2(\pi -2\theta )+\theta \ln 2$

Иногда используется другое определение функции Лобачевского,

$\mathrm{\Lambda }(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\mathrm{d}\tau \ln |2\sin \tau |=\frac{1}{2}{\mathrm{Cl}}_2(2\theta )$

• Интегральный арктангенс ${\mathrm{Ti}}_2(y)$

Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,

${\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)=\frac{1}{4}{\mathrm{Li}}_2(-y^2)+\mathrm{i}{\mathrm{Ti}}_2(y)$

Таким образом,

${\mathrm{Ti}}_2(y)=\mathrm{Im}[{\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)]=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)-{\mathrm{Li}}_2(-\mathrm{i}y)]$

• Функция Лежандра ${\chi }_2(z)$

Эта функция выражается через дилогарифмы как

${\chi }_2(z)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1{)}^2}=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_2(z)-{\mathrm{Li}}_2(-z)]$

В частности, ${\chi }_2(\mathrm{i}y)=\mathrm{i}{\mathrm{Ti}}_2(y)$.

Ссылки

• Шаблон:Книга Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Книга
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
• Шаблон:MathWorld