Универсальная тригонометрическая подстановка

Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Подстановка

Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса.

Заменим sin x, cos x и дифференциал dx рациональными функциями от переменной t, и их произведением дифференциал dt, следующим образом:

$\begin{array}{cc}\sin x& =\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x& =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx& =\frac{2dt}{1+t^2}\end{array}$

Введение обозначений

Примем, что переменная t равна тангенсу половинного угла:

$t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}.$

В интервале −π < x < π, это даёт

$x=2\mathrm{arctg}(t),$

и после дифференцирования получаем

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$

Формула тангенса половинного угла даёт для синуса

$\begin{array}{cc}\sin x=\sin (2\mathrm{arctg}(t))& =2\sin (\mathrm{arctg}(t))\cos (\mathrm{arctg}(t))\\ & =2\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{2t}{1+t^2},\end{array}$

и для косинуса формула даёт

$\begin{array}{cc}\cos x=\cos (2\mathrm{arctg}(t))& ={\cos }^2(\mathrm{arctg}(t))-{\sin }^2(\mathrm{arctg}(t))\\ & ={\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)}^2-{\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)}^2=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\end{array}$

Примеры

Первый пример

Найдём интеграл

$\int \frac{1}{3-5\cos x}dx.$

Используя универсальную тригонометрическую подстановку, получаем

$\int \frac{1}{3-5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{dt}{4t^2-1}=\int \frac{dt}{(2t-1)(2t+1)}.$

Чтобы вычислить последний интеграл, используем разложение дробей:

$\begin{array}{cc}& \int (\frac{1/2}{2t-1}-\frac{1/2}{2t+1})dt\\ & =\frac{1}{4}\ln |2t-1|-\frac{1}{4}\ln |2t+1|+\text{C}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|+\text{C}\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)-1}{2\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)+1}\right|+\text{C}.\end{array}$

Далее, согласно формуле тангенса половинного угла, можно заменить tg(x/2) на sin x/(1 + cos x), и тогда получаем

$\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}\right|+\text{C},$

или так же мы можем заменить tg(x/2) на (1 − cos x)/sin x.

Второй пример: определённый интеграл

Разница между определённым и неопределённым интегрированием состоит в том, что при вычислении определённого интеграла нам не обязательно преобразовывать полученную функцию от переменной  t обратно к функции от переменной x, если корректно изменить пределы интегрирования.

Например,

$\underset{0}{\overset{\pi /6}{\int }}\frac{1}{5+4\sin x}dx=\underset{0}{\overset{2-\sqrt{3}}{\int }}\frac{1}{5+4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)}\frac{2dt}{1+t^2}$

Если x изменяется от 0 до π/6, sin x изменяется от 0 до 1/2. Это означает, что величина 2t/(1 + t²), равная sin  изменяется от 0 до 1/2. Тогда можно найти пределы интегрирования по переменной t:

$\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1}{2},$

перемножая обе части уравнения на 2 и на (1 + t²), получаем:

$1+t^2=4t.$

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

$t=2\pm \sqrt{3}.$

Возникает вопрос: какой из этих двух корней подходит для нашего случая? Ответить на него можно, рассмотрев поведение

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$

как функцию от x и как функцию от t. Когда x изменяется 0 до π, функция sin x изменяется от 0 до 1, и потом назад до  0. Эта функция проходит через значение 1/2 дважды — при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении от 1 до 0. Когда t изменяется от 0 до ∞, функция 2t/(1 + t²) изменяется от 0 до 1 (когда t = 1) и потом обратно до  0. Она проходит значение 1/2 при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении: первый раз при t = 2 − √3 и потом опять при t = 2 + √3.

Произведя несложные алгебраические преобразования, получим

$\underset{0}{\overset{2-\sqrt{3}}{\int }}\frac{2dt}{5(1+t^2)+4(2t)}=\underset{0}{\overset{2-\sqrt{3}}{\int }}\frac{2dt}{5t^2+8t+5}$

Выделяя полный квадрат, получаем

$\underset{0}{\overset{2-\sqrt{3}}{\int }}\frac{2dt}{5{(t+\frac{4}{5})}^2+\frac{9}{5}}=\underset{0}{\overset{2-\sqrt{3}}{\int }}\frac{\frac{10}{9}dt}{{\left(\frac{5t+4}{3}\right)}^2+1}.$

Введём новую переменную

$\begin{array}{cc}u& =\frac{5t+4}{3},\\ du& =\frac{5}{3}dt,\\ \end{array}$

Отсюда

$u=\frac{4}{3}$

при $t=0,$

и предел интегрирования будет

$u=\frac{14-5\sqrt{3}}{3}$

так как выше было определено, что

$t=2-\sqrt{3}.$

Тогда интегрирование даёт

$\begin{array}{cc}& \underset{4/3}{\overset{(14-5\sqrt{3})/3}{\int }}\frac{\frac{2}{3}du}{u^2+1}={\frac{2}{3}\mathrm{arctg}(u)|}_{u=4/3}^{u=(14-5\sqrt{3})/3}\\ & =\mathrm{arctg}\left(\frac{14-5\sqrt{3}}{3}\right)-\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)=\mathrm{arctg}\left(\frac{42-15\sqrt{3}}{121}\right).\end{array}$

На последнем шаге использовано известное тригонометрическое тождество

$\mathrm{arctg}(p)-\mathrm{arctg}(q)=\mathrm{arctg}\left(\frac{p-q}{1+pq}\right).$

Третий пример

Подстановку Вейерштрасса можно использовать при нахождении интеграла от секанса:

$\int \sec xdx.$

Имеем

$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\left(\frac{2dt}{1+t^2}\right)}{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}=\int \frac{2dt}{1-t^2}=\int \frac{2dt}{(1-t)(1+t)}.$

Как и в первом примере, используем разложение дроби:

$\begin{array}{cc}& \int (\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t})dt=-\ln |1-t|+\ln |1+t|+C=\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\ & =\ln |\frac{1+t^2}{1-t^2}+\frac{2t}{1-t^2}|+C=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C.\end{array}$

Линейное преобразование дробей

Два компонента

$\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}$

являются соответственно действительной и мнимой частями числа

$\frac{i-t}{i+t}$

(считаем, что t действительное).

Для гиперболических функций

Похожие формулы существуют и для гиперболических функций. Пусть

$t=\mathrm{th}\frac{x}{2}$

Тогда:

$\mathrm{sh}x=\frac{2t}{1-t^2}$

$\mathrm{ch}x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$

$\mathrm{th}x=\frac{2t}{1+t^2}$

$dx=\frac{2}{1-t^2}dt$

Ссылки

• Подстановка Вейерштрасса на сайте PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Weierstrass Substitution." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.Шаблон:Ref-en