Числа Бернулли

Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют Шаблон:OEIS и Шаблон:OEIS соответственно;

$B_0=1$

$B_1=-\frac{1}{2}$

$B_2=\frac{1}{6}$

$B_3=0$

$B_4=-\frac{1}{30}$

$B_5=0$

$B_6=\frac{1}{42}$

$B_7=0$

$B_8=-\frac{1}{30}$

$B_9=0$

$B_{10}=\frac{5}{66}$

$B_{11}=0$

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

$B_{13}=0$

$B_{14}=\frac{7}{6}$

$B_{15}=0$

$B_{16}=-\frac{3617}{510}$

$B_{17}=0$

$B_{18}=\frac{43867}{798}$

$B_{19}=0$

$B_{20}=-\frac{174611}{330}$

$B_{22}=\frac{854513}{138}$

$B_{24}=-\frac{236364091}{2730}$

$B_{26}=\frac{8553103}{6}$

$B_{28}=-\frac{23749461029}{870}$

$B_{30}=\frac{8615841276005}{14322}$

$B_{32}=-\frac{7709321041217}{510}$

$B_{34}=\frac{2577687858367}{6}$

$B_{36}=-\frac{26315271553053477373}{1919190}$

$B_{38}=\frac{2929993913841559}{6}$

$B_{40}=-\frac{261082718496449122051}{13530}$

$B_{42}=\frac{1520097643918070802691}{1806}$

$B_{44}=-\frac{27833269579301024235023}{690}$

$B_{46}=\frac{596451111593912163277961}{282}$

$B_{48}=-\frac{5609403368997817686249127547}{46410}$

$B_{50}=\frac{495057205241079648212477525}{66}$

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_0,B_1,B_2,\dots$, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

$\sum _{n=0}^{N-1}{n}^k=\frac{1}{k+1}\sum _{s=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{s})B_s{N}^{k+1-s},$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{s})=\frac{(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}$ — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом $B_1=-\frac{1}{2}$. Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком $B_k$. Кроме того, так как за исключением $B_1$ все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «$B_n$» для $B_{2n}$ или $|B_{2n}|$.

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

$B_0=1,$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})B_{n-k},n\in \mathbb{N}.$

Свойства

Написана в 1713 году

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме $B_1$, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли $B_n(x)$ при $x=0$:

$B_n=B_n(0).$

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    $\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n,|x|<2\pi ,$

    $x\mathrm{ctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{B}_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n},|x|<\pi ,$

    $\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1},|x|<\pi /2.$

• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:

  $B_{2k}=2(-1{)}^{k+1}\frac{\zeta (2k)(2k)!}{(2\pi {)}^{2k}}.$

А также

$B_n=-n\zeta (1-n)$ для всех натуральных n > 1.

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac{1}{4n}|B_{2n}|,n=1,2,\dots .$
• Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:

  $|B_n|\sim \frac{2\cdot n!}{(2\pi {)}^n}$ при чётных $n\to \mathrm{\infty }$. Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}\zeta (2k)=1\text{по}k\in \mathbb{Z}$.

Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

• Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что $B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}\frac{1}{p}\in \mathbb{Z}.$
  • Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби $B_{2n}$ есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Генератор Чисел Бернулли