Цепная линия

Висящая цепь образует цепную линию

Цепная линия при различных значениях параметра $a$

Цепна́я ли́ния, также катенария, — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение линии в декартовых координатах:

$y=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\mathrm{ch}\frac{x}{a}$

(о функции $\mathrm{ch}$ см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра $a$ эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси $x$. Переменная $x$ графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению $a$. Если значение параметра $a$ меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку.

Параметр $a$ имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Свойства

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения $T_H.$ Параметр $a=\frac{T_H}{\lambda H},$ где $\lambda$ — погонная плотность нити

Цепная линия - траектория фокуса параболы, катящейся по прямой.

• Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки $(x,y)$:

  $s=a\mathrm{sh}\frac{x}{a}=\sqrt{y^2-a^2}.$

• Радиус кривизны:

  $R=a{\mathrm{ch}}^2\frac{x}{a}=\frac{y^2}{a}.$

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  $S=a^2(\mathrm{sh}\frac{x_2}{a}-\mathrm{sh}\frac{x_1}{a})=a(\sqrt{y_2^2-a^2}-\sqrt{y_1^2-a^2}).$

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия.
• Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.

Применения

Арки

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёса

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на Шаблон:Iw, ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги.

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном БернуллиШаблон:Sfn.

Дополнительные факты

На арке «Ворота на запад» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах:

$y=-127,7^{\prime }\cdot \mathrm{ch}(x/127,7^{\prime })+757,7^{\prime }.$

Выраженное в метрах, это уравнение будет $y=-38,92\cdot \mathrm{ch}(x/38,92)+230,95.$

См. также

• Фонтан из цепочки

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга