Катеноид

Катеноид.

Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.

$y=a\mathrm{ch}\frac{x}{a}$ вокруг оси $OX$.

История

Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от Шаблон:Lang-la означает цепь и греческого éidos — вид.

Уравнения

Катеноид можно задать и параметрически:

$u\in ℝ,v\in [0;2\pi ),\{\begin{array}{c}x=\mathrm{ch}(u)\cos (v)\\ y=\mathrm{ch}(u)\sin (v)\\ z=u\end{array},$

где $\mathrm{ch}$ — гиперболический косинус.

Свойства

Мыльная плёнка в форме катеноида.

• Является минимальной поверхностью.
  • В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
• Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
• Общая кривизна равна $-4\cdot \pi$.
  • Полная погруженная минимальная поверхность в ${ℝ}^3$ с общей кривизны $-4\cdot \pi$ является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.

Ссылки

• Шаблон:БСЭ3