Теорема синусов

Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов: Шаблон:Рамка Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Шаблон:Конец рамки и расширенная теорема синусов: Шаблон:Рамка Для произвольного треугольника

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $\alpha ,\beta ,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Шаблон:Конец рамки

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты $h_b$ треугольника, опущенной на сторону Шаблон:Math, и синуса для двух углов:

$h_b=a\sin \gamma =c\sin \alpha$. Следовательно, $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Вариации и обобщения

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

$V_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{V_{n-1}^i{V}_{n-1}^j}{V_{n-2}^{i,j}}\cdot \sin A_{i,j},$

где $A_{i,j}$ — угол между гранями $V_{n-1}^i$ и $V_{n-1}^j$; $V_{n-2}^{i,j}$ — общая грань $V_{n-1}^i$ и $V_{n-1}^j$; $V_n$ — объём симплекса.

История

• В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется.
• Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке.
• Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.

Вариации и обобщения

• Сферическая теорема синусов
• На плоскости Лобачевского с кривизной $-1$ теорема синусов принимает следующую форму:

  $\frac{\sin A}{\mathrm{s}\mathrm{h}a}=\frac{\sin B}{\mathrm{s}\mathrm{h}b}=\frac{\sin C}{\mathrm{s}\mathrm{h}c}.$

• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде