Сферические теоремы косинусов

Сферический треугольник.

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,$

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.$

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Сферический треугольник для определения кратчайшего расстояния между точками на Земле.

Следствия и применение

Шаблон:Also Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

$\cos c=\cos a\cos b.$

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек ${\phi }_A$ и ${\phi }_B$, разность долгот — $\mathrm{\Delta }{\lambda }_{AB}$, кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии:

$\cos \left(\frac{d}{a}\right)=\sin {\phi }_A\cdot \sin {\phi }_B+\cos {\phi }_A\cdot \cos {\phi }_B\cdot \cos \mathrm{\Delta }{\lambda }_{AB}$

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам.

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

История

Шаблон:Main Математики средневекового Востока использовали утверждение, равносильное сферической теореме косинусов, при решении конкретных астрономических задач. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Первая явная формулировка теоремы дана в XV веке Региомонтаном, который назвал её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. также

• Сферическая теорема синусов
• Теорема косинусов

Литература

• Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. 2-е изд., ИГКЛ, 1948, 115с.
• Шаблон:Книга
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.