Описанный четырёхугольник

Пример описанного четырёхугольника

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными Шаблон:Sfn. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

Файл:Tangential quadrilateral - EF.svg

$BE+BF=DE+DF$ или $AE-EC=AF-FC.$. Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

$a+c=b+d=\frac{a+b+c+d}{2}=s.$

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

$BE+BF=DE+DF$

или

$AE-EC=AF-FC.$

Второе равенство почти то же, что и равенство в Шаблон:Не переведено 5. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг другаШаблон:Sfn.

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

$\tan \frac{\mathrm{\angle }ABD}{2}\cdot \tan \frac{\mathrm{\angle }BDC}{2}=\tan \frac{\mathrm{\angle }ADB}{2}\cdot \tan \frac{\mathrm{\angle }DBC}{2}.$

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

$R_a{R}_c=R_b{R}_d$,

где R_a, R_b, R_c, R_d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны Шаблон:Sfn.

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

$S=r\cdot p$,

где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формулаШаблон:Sfn

$S=\frac{1}{2}\sqrt{p^2{q}^2-(ac-bd{)}^2}$,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь Шаблон:Sfn

$S=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.$

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, hШаблон:Sfn

$S=\sqrt{abcd-(eg-fh{)}^2}.$

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, Шаблон:Sfn получаем, что максимальная площадь $\sqrt{abcd}$ может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных углов Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$S=\sqrt{abcd}\sin \frac{A+C}{2}=\sqrt{abcd}\sin \frac{B+D}{2}.$

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае $S=\sqrt{abcd}$, поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализШаблон:Sfn.

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла

$S=(OA\cdot OC+OB\cdot OD)\sin \frac{A+C}{2}$,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов Шаблон:Sfn

$S=ab\sin \frac{B}{2}\csc \frac{D}{2}\sin \frac{B+D}{2}.$

Есть ещё одна формулаШаблон:Sfn

$S=\frac{1}{2}|(ac-bd)\tan \theta |,$

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

$S\le \sqrt{abcd}$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является Шаблон:Не переведено 5.

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

$p\ge 4r$,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство

$S\ge 4r^2$

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентрШаблон:Sfn.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Шаблон:Sfn

$r=\frac{S}{p}=\frac{S}{a+c}=\frac{S}{b+d}$,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

$r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

$r=2\sqrt{\frac{(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}$,

где $\sigma =\frac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)$Шаблон:Sfn.

Формулы для углов

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формуламШаблон:Sfn

$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}},$

$\sin \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}},$

$\sin \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}},$

$\sin \frac{D}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}.$

Угол между хордами KM и LN задаётся формулойШаблон:Sfn(см. рисунок)

$\sin \phi =\sqrt{\frac{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}.$

Диагонали

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равныШаблон:Sfn

$p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}((e+g)(f+h)+4fh)},$

$q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}((e+g)(f+h)+4eg)}.$

Хорды точек касания

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равныШаблон:Sfn

$k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},$

$l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}},$

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению Шаблон:Sfn

$\frac{k^2}{l^2}=\frac{bd}{ac}.$

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан Шаблон:Sfn.
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидомШаблон:Sfn.

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DAШаблон:Sfn.

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных $\frac{BM}{DN}$ равно отношению $\frac{BP}{DP}$ отрезков диагонали BD.

Коллинеарные точки

Файл:Tangential quadrilateral - QT.svg

Прямая Нагеля QO и ортоцентры H_M, H_N, H_K, H_L

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M₃ — середина отрезка EF, тогда точки M₃, M₁, O, и M₂ лежат на одной прямойШаблон:Sfn Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямойШаблон:Sfn

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если T_M, T_K, T_N, T_L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ_M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T_NT_M и T_KT_L. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть H_M, H_K, H_N, H_L являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, H_M, H_K, H_N и H_L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин

$\frac{AB}{CD}=\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD},\frac{BC}{DA}=\frac{OB\cdot OC}{OD\cdot OA}.$

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

$AB\cdot BC=O{B}^2+\frac{OA\cdot OB\cdot OC}{OD}.$

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то

$OA\cdot OC+OB\cdot OD=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

$OA\cdot OC=OB\cdot OD.$

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

$\frac{O{M}_1}{O{M}_2}=\frac{OA\cdot OC}{OB\cdot OD}=\frac{e+g}{f+h},$

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклымШаблон:SfnШаблон:Sfn (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса $\sqrt{abcd}/s$, где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r₁, r₂, r₃ и r₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.$

Это свойство было доказано пятью годами ранее ВайнштейномШаблон:SfnШаблон:Sfn. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h_M, h_K, h_N и h_L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$\frac{1}{h_M}+\frac{1}{h_N}=\frac{1}{h_K}+\frac{1}{h_L}.$

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r_M, r_K, r_N и r_L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда Шаблон:Sfn

$\frac{1}{r_M}+\frac{1}{r_N}=\frac{1}{r_K}+\frac{1}{r_L}.$

Если R_M, R_K, R_N и R_L — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

$R_M+R_N=R_K+R_L.$

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтахШаблон:Sfn. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник Шаблон:Sfn. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружностиШаблон:Sfn (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R_m, R_n, R_k и R_l — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет Шаблон:Sfn

$\frac{1}{R_m}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{R_k}+\frac{1}{R_l}.$

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

$\frac{m}{\mathrm{△}(APB)}+\frac{n}{\mathrm{△}(CPD)}=\frac{k}{\mathrm{△}(BPC)}+\frac{l}{\mathrm{△}(DPA)}$

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p_a и PC = p_c. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p_b и PD = p_d. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:Шаблон:Sfn

$m{p}_c{p}_d+n{p}_a{q}_b=k{p}_a{p}_d+l{p}_c{p}_b$

или Шаблон:Sfn

$\frac{(p_a+p_b-m)(p_c+p_d-n)}{(p_a+p_b+m)(p_c+p_d+n)}=\frac{(p_c+p_b-k)(p_a+p_d-l)}{(p_c+p_b+k)(p_a+p_d+l)}$

илиШаблон:Sfn

$\frac{(m+p_a-p_b)(n+p_c-p_d)}{(m-p_a+p_b)(n-p_c+p_d)}=\frac{(k+p_c-p_b)(l+p_a-p_d)}{(k-p_c+p_b)(l-p_a+p_d)}.$

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равныШаблон:Sfn.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когдаШаблон:SfnШаблон:Sfn

• хорда MN перпендикулярна KL
• $\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}$
• $\frac{AC}{BD}=\frac{AM+CN}{BK+DL}$

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторонШаблон:Sfn.

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:Шаблон:Sfn

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

См. также

• Описанная окружность
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Вписанная в треугольник окружность

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Внешние ссылки

• Шаблон:MathWorld