Середина отрезка

Средняя точка отрезка с вершинами (Шаблон:Mvar₁, Шаблон:Mvar₁) и (Шаблон:Mvar₂, Шаблон:Mvar₂)

Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.

Координаты

Средняя точка отрезка в $n$-мерном пространстве, концами которого являются точки $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ и $B=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$, задаётся формулой:

$\frac{A+B}{2}$.

Таким образом, $i$-я координата средней точки ($i=1,2,\dots ,n$) равна:

$\frac{a_i+b_i}{2}$.

Построение

Файл:Midpoint-CR.svg

Построение с помощью циркуля и линейки

Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

Файл:Midpoint-C.svg

Построение с помощью одного циркуля

С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка $(AB)$ строится точка $C$, симметричная точке $A$ относительно точки $B$; на втором шаге строится инверсия точки $C$ относительно окружности радиуса $|AB|$ с центром в точке $A$; полученная точка является серединой отрезка $(AB)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центромШаблон:Sfn.

Геометрические свойства

Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности. Теорема о бабочке утверждает, что если $M$ является серединой хорды $PQ$ и через середину проходят две другие хорды $AB$ и $CD$, то $AD$ и $BC$ пересекают хорду $PQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $M$ является серединой отрезка $XY$.

Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.

Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.

Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.

Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезковШаблон:Sfn. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.

Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника Шаблон:Mvar является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами Шаблон:MvarШаблон:Sfn. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольникуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщения

Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулыШаблон:Переход применимы к любой аффинной системе координат.

Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкойШаблон:Sfn.

Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
• What is Midpoint Formula