Теорема Вариньона (геометрия)

Красный четырёхугольник — параллелограмм

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия

• Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
• Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
• Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
• Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
• Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

Доказательство

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника

Пусть диагональ $AC$ проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{AC\cdot h_b}{2}$, где $h_b$ --- высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$. Аналогично, площадь треугольника $ADC$ равна $\frac{AC\cdot h_d}{2}$. Тогда площадь всего четырёхугольника равна $\frac{AC(h_b+h_d)}{2}$. Но $\frac{(h_b+h_d)}{2}=\frac{h_b}{2}+\frac{h_d}{2}$ — это сумма расстояний до прямой $AC$ от точек $E$ и $H$, то есть в точности высота параллелограмма $EHGF$. А поскольку сторона $GH$ параллелограмма вдвое меньше $AC$, то и площадь параллелограмма равна половине площади $ABCD$, Шаблон:Nobr

выпуклый четырёхугольник	невыпуклый четырёхугольник	самопересекающийся четырёхугольник

См. также

• Прямая Ньютона
• Теорема Ньютона (планиметрия)
• Четырехугольник