Ромб

Ромб (Шаблон:Lang-grc, Шаблон:Lang-la, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равныШаблон:Sfn (см. другие варианты определенияШаблон:Переход).

Термин «ромб» происходит от Шаблон:Lang-grc — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Высоты в ромбе равны между собой.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD Шаблон:Итд).
Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Диагонали ромба являются осями его симметрии.
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
Диагонали $p$ и $q$ ромба выражаются через сторону ромба $a$ и угол $α$ между двумя смежными сторонами ромба как

$p = (\sqrt{1 + \sin α} - \sqrt{1 - \sin α}) a = 2 a \sin \frac{α}{2}$ ;

$q = (\sqrt{1 + \sin α} + \sqrt{1 - \sin α}) a = 2 a \cos \frac{α}{2}$ .

Признаки

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник^[1], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом^[2]^[3].

Параллелограмм $A B C D$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условийШаблон:Sfn:

Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
Диагонали параллелограмма являются осями симметрии^[4].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[5]^[6].

Уравнение ромба

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке ${x_{0}, y_{0}}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде^[7]:

\frac{| x - x_{0} |}{a} + \frac{| y - y_{0} |}{b} = 1,

где $a, b$ — половины длин диагоналей ромба по осям $X, Y$ соответственно.

Длина стороны ромба равна $\sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Площадь ромба равна $2 a b .$ Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

2 arctg \frac{b}{a}

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

| x - x_{0} | + | y - y_{0} | = a,

где сторона квадрата равна $a \sqrt{2},$ а его диагональ равна $2 a .$ Соответственно площадь квадрата равна $2 a^{2} .$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать^[7] как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = \frac{A C \cdot B D}{2}

Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

S = a \cdot h

Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

S = a^{2} \cdot \sin α

,

где $α$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол $α$ :

S = \frac{4 r^{2}}{\sin α};

Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

S = 2 a r .

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности Шаблон:Math может быть выражен через диагонали Шаблон:Math и Шаблон:Math в виде^[8]:

r = \frac{p \cdot q}{2 \sqrt{p^{2} + q^{2}}} .

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

Червлёный ромб в серебряном поле
В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Ромбический орнамент
Ромбические звёзды
Более сложный орнамент
Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также

Шаблон:Навигация

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Многоугольники

↑ Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).
↑ Погорелоа А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. Шаблон:Wayback М.: Просвещение, 2001, С. 18.
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок EM435 не указан текст
↑ Шаблон:Публикация
↑ Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
↑ Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.
↑ ^7,0 ^7,1 Шаблон:Mathworld Здесь ромб назван diamond.
↑ Шаблон:Mathworld

[1] Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).

[2] Погорелоа А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. Шаблон:Wayback М.: Просвещение, 2001, С. 18.

[EM435-3] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок EM435 не указан текст

[4] Шаблон:Публикация

[5] Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.

[6] Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.

[Superellipse-7] 7,0 ^7,1 Шаблон:Mathworld Здесь ромб назван diamond.

[Mathworld-8] Шаблон:Mathworld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]