Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $[x_1:x_2]$. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности $ℝP^1\cong S^1$. Комплексная проективная прямая $ℂP^1$ — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере $S^2$. Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, $ℍP^1\cong S^4$.

Действие групп на проективной прямой

Для групп $G{L}_2(k),S{L}_2(k)$ и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы $PG{L}_2(k),PS{L}_2(k)$, для которых это действие является точным. Для конечного поля $PS{L}_2(k)$ изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой $P^1(K)$ является поле $K(X)$ рациональных функций. Группой автоморфизмов поля $K(X)$ является группа $PG{L}_2(K)$. Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — Шаблон:М: Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — Шаблон:М: Мир, 1981.