Трапеция

Трапе́ция (от Шаблон:Lang-grc — «столик» от Шаблон:Lang-grc2 — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм не становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 
  Равнобедренная трапеция
• 
  Прямоугольная трапеция

Свойства

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ }$ (по свойству секущей при параллельных прямых).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отношение боковых сторон равно отношению синусов противолежащих им углов:

$\frac{c}{d}=\frac{\sin D}{\sin C}$.

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащих к основаниям, подобны. Два других, прилежащих к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
• Если отношение оснований равно $K$, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно $K^2$.
• Высота трапеции определяется формулой:

$h=\sqrt{c^2-\frac{1}{4}{(\frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a)}^2}$

где $b$ — большее основание, $a$ — меньшее основание, $c$ и $d$ — боковые стороны.

В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до

$h=\sqrt{c^2-\frac{1}{4}{(b-a)}^2}$,

так как $c^2-d^2=0$.

• Диагонали трапеции $d_1$ и $d_2$ связаны со сторонами соотношением:

$d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2$.

Их можно выразить в явном виде:

$d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}$;

$d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}$.

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

$a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2{)}^2-(d^2-d_2^2{)}^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}$;

$b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2{)}^2-(d^2-d_1^2{)}^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}$;

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

$c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}$;

$d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}$.

Если же известна высота $h$, то

$d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+{(b-\sqrt{d^2-h^2})}^2}$;

$d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+{(b-\sqrt{c^2-h^2})}^2}$.

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
• Длина отрезка $s$, соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле

$s=\frac{\sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b{)}^2}}{2}$.

• Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые диагонали данной трапеции отсекают от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.

Неравенства для отрезков в трапеции

• Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше модуля разности оснований трапеции, т. е. если $𝒜ℬ𝒞𝒟$ — трапеция ($𝒜𝒟\mathcal{\parallel }ℬ𝒞$), то выполняется неравенство: $𝒜ℬ\mathcal{+}𝒞𝒟>\mathcal{|}𝒜𝒟\mathcal{-}ℬ𝒞\mathcal{|}$.
• Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если $𝒜ℬ𝒞𝒟$ — трапеция ($𝒜𝒟\mathcal{\parallel }ℬ𝒞$), то выполняется неравенство: $𝒜𝒞\mathcal{+}ℬ𝒟>𝒜𝒟\mathcal{+}ℬ𝒞$.
• Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований трапеции, т. е. если $𝒜ℬ𝒞𝒟$ — трапеция ($𝒜𝒟\mathcal{\parallel }ℬ𝒞$), то выполняется неравенство: $\mathcal{|}𝒜ℬ\mathcal{-}𝒞𝒟\mathcal{|}<\mathcal{|}𝒜𝒟\mathcal{-}ℬ𝒞\mathcal{|}$.

Равнобедренная трапеция

Шаблон:Основная статья Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции). Эквивалентно: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, взаимно перпендикулярны;
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывают с одним и тем же основанием равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание видно под одним и тем же угломШаблон:Прояснить;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если $𝒜ℬ𝒞𝒟$ — равнобочная трапеция ($𝒜𝒟\mathcal{\parallel }ℬ𝒞$, $𝒜ℬ\mathcal{=}𝒞𝒟$), причём $𝒜𝒞$ — диагональ трапеции, то ${𝒜𝒞}^2\mathcal{=}𝒜𝒟\mathcal{\cdot }ℬ𝒞\mathcal{+}{𝒜ℬ}^2$.

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

$R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b{)}^2}}$.

• Если $a+b=c+d$, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

$r=\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{\sqrt{d^2-l^2}}{2}$.

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $v$ и $w$ — то $r=\sqrt{vw}$.
• Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
• Боковые стороны $c⩽d$ описанной трапеции выражаются через основания $a$ и $b$ этой трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности как

$c=\frac{a+b}{2}-\frac{|a-b|}{2}\sqrt{1-\frac{4r^2}{ab}}$,

$d=\frac{a+b}{2}+\frac{|a-b|}{2}\sqrt{1-\frac{4r^2}{ab}}$.

• Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности выражается через длины $a$ и $b$ её оснований и угол $\theta$ между диагоналями описанной трапеции формулой

$r=\frac{2ab(a+b)}{(a-b{)}^2}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta$.

• Угол $\theta$ между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение

$\cos \theta =\frac{(a-b{)}^2}{a^2+6ab+b^2}$.

• Радиус $r$ вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству

$r⩽\frac{\sqrt{ab}}{2}$,

где $a$ и $b$ — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.

• Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство

$a<c⩽d<b$.

• Длина $l$ отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ и радиусом вписанной окружности $r$ может быть вычислена по формуле

$l=\frac{2abr}{\sqrt{(ab{)}^2+((a-b)r{)}^2}}$.

• Связь противоположных углов $A$ и $C$ описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ (см. рис. выше):

$\frac{b}{a}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}}$.

• Площадь $S$ описанной трапеции выражается через внутренние углы $\alpha$ и $\beta$ при одном из оснований описанной трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности формулой

$S=2r^2(\frac{1}{\sin \alpha }+\frac{1}{\sin \beta })$.

• Угол $\theta$ между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{(k-1{)}^2}{k^2+6k+1}⩽\theta <\frac{\pi }{2}$,

где $k$ — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство $\theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{(k-1{)}^2}{k^2+6k+1}$ здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.

• Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
• Угол $\theta$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение

$\tan \theta =2(\frac{a+b}{a-b}{)}^2$.

• Угол $\theta$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала $(\arctan 2;\frac{\pi }{2})$.

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если $a$ и $b$ — основания и $h$ — высота, формула площади:

$S=\frac{(a+b)}{2}h$

• В случае, если $m$ — средняя линия и $h$ — высота, формула площади:

$S=mh$

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

$m=\frac{(a+b)}{2}$

• В случае, если известна средняя линия $m$, боковая сторона $c$ и угол при этой стороне $\alpha$, то формула площади выглядит следующим образом:

$S=mc\sin \alpha$

Примечание: приведённая выше формула получается путём применения теоремы синусов на любом из двух треугольников, образовываемых высотами трапеции. Использование любого из двух углов, прилежащих к боковой стороне обусловлено тем, что $\sin \alpha =\sin (180^{\circ }-\alpha )$.

• Формула, где $a<b$ — основания, $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции:

$S=\frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.$

или

$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac{1}{4}{(\frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a)}^2}$

• Средняя линия $m$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3a+b}{a+3b}$

• По свойству треугольников $\mathrm{△}AHD$ и $\mathrm{△}BHC$ в трапеции $ABCD$:

$S={(\sqrt{S_{△AHD}}+\sqrt{S_{△BHC}})}^2.$

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным $r$, и любым из углов трапеции $\alpha$:

$S=\frac{4r^2}{\sin \alpha }$

• Площадь равнобедренной трапеции через диагональ $d$, боковую сторону $l$ и угол при основании $\alpha$:

$S=l\sqrt{d^2-(l\sin \alpha {)}^2}\sin \alpha$.

• Площадь равнобедренной трапеции:

$S=(b-c\cos \gamma )c\sin \gamma =(a+c\cos \gamma )c\sin \gamma$,

где $c$ — боковая сторона, $b$ — бо́льшее основание, $a$ — меньшее основание, $\gamma$ — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:

$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac{1}{4}(b-a{)}^2}$

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

$S=h^2.$

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. $m=h$.

История

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).