Площадь фигуры

Шаблон:Значения Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

1. Положительность — площадь неотрицательна;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\epsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$, такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\epsilon$, где $S(P)$ обозначает площадь $P$.

Примеры квадрируемых фигур:

• многоугольники;
• любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
• фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

• Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
  • То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

Формулы

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$	$a$ — длина стороны треугольника.
Треугольник	$\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$	Формула Герона. $p$ — полупериметр, $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника.
Треугольник	$\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$	$a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Треугольник	$\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$	$b$ и $h$ — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^2$	$a$ — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$a\cdot b$	$a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.
Ромб	$a^2\cdot \sin \alpha ,\frac{1}{2}bc$	$a$ — сторона ромба, $\alpha$ — внутренний угол, $b,c$ — диагонали.
Параллелограмм	$b\cdot h$	$b$ — длина одной из сторон параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	$\frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$	$a$ и $b$ — длины параллельных сторон, а $h$ — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник	$\frac{1}{2}\cdot m\cdot n\cdot \sin \varphi$	$n$ и $m$ — длины диагоналей, и $\varphi$ — угол между ними.
Правильный шестиугольник	$\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot a^2$	$a$ — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2\cdot (1+\sqrt{2})\cdot a^2$	$a$ — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	$\frac{n\cdot a^2}{4\cdot \tan (\pi /n)}$	$a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество сторон многоугольника.
	$\frac{1}{2}\cdot a\cdot p$	$a$ — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$ — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник	$\frac{1}{2}|\sum _{i=0}^{n-1}\det \left(\begin{array}{cc}{x}_i& x_{i+1}\\ y_i& y_{i+1}\end{array}\right)|$	Формула площади Гаусса. $(x_i,y_i)$ — координаты вершин $n$-угольника, $(x_n,y_n)=(x_0,y_0)$
Круг	$\pi \cdot r^2$ или $\frac{\pi \cdot d^2}{4}$	$r$ — радиус окружности, а $d$ — её диаметр.
Сектор круга	$\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \theta$	$r$ и $\theta$ — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\pi \cdot a\cdot b$	$a$ и $b$ — большая и малая полуоси эллипса.

См. также

• Исчезновение клетки
• Мера Бореля
• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Ориентированная площадь
• Площадь
• Площадь поверхности
• Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
• Треугольник о площадях треугольников
• Четырехугольник о площадях четырехугольников

Литература

• В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Шаблон:Wayback Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Шаблон:Wayback, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• §§ 244—276 в Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Книга
• В. А. Рохлин, Площадь и объём Шаблон:Wayback, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.