Ориентированная площадь

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

Определение

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая $\ell$, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на $\ell$ точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно $\ell$. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур $\ell$ обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой $\ell$ ориентированной площадью.

Свойства

Для ориентированной площади $S$ заключённой внутри замкнутой ломаной $A_1\dots A_n$ на плоскости выполняется равенство

$S\cdot \overrightarrow{N}=\overrightarrow{O{A}_1}\times \overrightarrow{A_1{A}_2}+\dots +\overrightarrow{O{A}_n}\times \overrightarrow{A_n{A}_1},$

где $\overrightarrow{N}$ обозначает единичный вектор нормали к плоскости и $\times$ — векторное произведение.

Литература

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;