Правильный треугольник

Правильный треугольник (равносторонний^[1], равноугольный) — треугольник, все стороны которого равны между собой, как следствие, все углы также равны и составляютШаблон:Nbsp60°; дважды равнобедренный треугольник; правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Символ Шлефли — ${3}$ .

В правильном треугольнике высоты также являются медианами и биссектрисами, их длина равна $(\sqrt{3} / 2) a$ , где $a$ — длина стороны.

Для правильного треугольника со стороной $a$ , радиусом вписанной окружности $r$ и радиусом описанной окружности $R$ имеют место соотношения:

r = \frac{\sqrt{3}}{6} a

,

R = \frac{\sqrt{3}}{3} a

,

R = 2 r

;

а площадь $S$ и периметр $P$ рассчитываются по формулам:

S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} R^{2} = 3 \sqrt{3} r^{2} = \frac{\sqrt{3}}{36} P^{2}

,

P = 3 a = 3 \sqrt{3} R = 6 \sqrt{3} r

.

Теорема Вивиани: сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает со вписанной окружностью.

Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

Группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих правильный треугольник в себя, состоит из Шаблон:Num: трёх поворотов на углы 0, $2 π / 3$ и $4 π / 3$ вокруг центроида, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).

На описанной окружности произвольного треугольника $△ A B C$ существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника $△ A B C$ , причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея. Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний (теорема Наполеона).

Теорема Помпею: для произвольной точки $M$ и равностороннего треугольника $△ A B C$ справедливы неравенства:

M A ⩽ M B + M C

,

M B ⩽ M A + M C

,

M C ⩽ M A + M B

,

при этом если $M$ расположена на описанной окружности, то неравенства обращатся в равенства.

Правильный сферический треугольник

Правильный сферический треугольник — сферический треугольник с равными сторонами. Для любого значения в интервале от 60° до 180° существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.