Треугольный паркет

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Треугольная мозаика
Треугольная мозаика
Тип Правильная мозаика
Вершинная фигура 3.3.3.3.3.3 (36)
Символ Шлефли {3,6}
Шаблон:Не переведено 5 6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Диаграмма Коксетера Шаблон:CDD
Шаблон:CDD
Шаблон:CDD = Шаблон:CDD
Шаблон:CDD
Группа симметрии Шаблон:Не переведено 5, [6,3], (*632)
Вращательная симметрия Шаблон:Не переведено 5, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Двойственная
мозаика		 Шестиугольная мозаика
Свойства Вершинно транзитивна,
Шаблон:Не переведено 5,
Шаблон:Не переведено 5

Треуго́льный парке́т (треугольный паркета́жШаблон:Sfn) или треугольная мозаика — это замощение плоскости равными правильными треугольниками, расположенными сторона к стороне.

Треугольная мозаика является двойственной шестиугольной мозаике — если соединить центры смежных треугольников, то проведённые отрезки дадут шестиугольную мозаикуШаблон:Sfn[1]. Символ Шлефли треугольного паркета — {3,6}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся 6 треугольников.

Внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, так что шесть треугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — шестиугольный паркет и квадратный паркет.

Шахматная раскраска треугольного паркета

Английский математик Конвей называл мозаику deltille (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию Шаблон:Не переведено 5, которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя 1 и 3, в то время как 111213 получается из 121314Шаблон:Sfn.

Существует один класс Шаблон:Не переведено 5, 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.

111111 121212 111222 112122 111112(*)
p6m (*632) p3m1 (*333) cmm (2*22) p2 (2222) p2 (2222)
121213 111212 111112 121314 111213
p31m (3*3) p3 (333)

Решётка A2 и упаковка кругов

Решётка AШаблон:Sup sub как три треугольные мозаики: Шаблон:CDD + Шаблон:CDD + Шаблон:CDD

Шаблон:Не переведено 5 треугольной мозаики называется решёткой A2[2]. Она является 2-мерным вариантом Шаблон:Не переведено 5.

Решётка AШаблон:Sup sub (которая также называется AШаблон:Sup sub) может быть построена как объединение трёх решёток A2 и эквивалентна решётке A2.

Шаблон:CDD + Шаблон:CDD + Шаблон:CDD = dual of Шаблон:CDD = Шаблон:CDD

Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной упаковки кругов Шаблон:Sfn. Любой круг соприкасается с 6 другими кругами (контактное число). Плотность упаковки равна π12, это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A2 снова будет решёткой A2, круги можно раскрасить в три цвета.

Ячейкой диаграммы Вороного треугольной мозаики является шестиугольник, так что мозаика Вороного, шестиугольная мозаика, имеет прямое отношение к упаковке кругов.

Решётка A2 упаковки кругов Решётка AШаблон:Sup sub упаковки кругов
Файл:Triangular tiling circle packing.png

Геометрические варианты

Треугольные мозаики могут быть идентичны {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника в каждой вершине). Существует 5 вершинно транзитивных вариантов с одинаковыми гранями (Шаблон:Не переведено 5). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сеткеШаблон:Sfn.

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранниками. Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в пирамиду. Отсюда можно получить правильные многогранники: пять, четыре и три треугольника в вершине дают икосаэдр, октаэдр и тетраэдр соответственно.

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с символами Шлефли {3,n}. Шаблон:Треугольные правильные мозаики

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с полуправильными многогранниками с конфигурацией граней Vn.6.6.


V3.6.6
V4.6.6
V5.6.6
V6.6.6
Шаблон:Не переведено 5

Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Шаблон:Малая таблица шестиугольных мозаик

Шаблон:Таблица треугольных мозаик

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 4 Шаблон:Не переведено 5, имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r- угольниками Шаблон:Sfn.

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.

2{6}6 или Шаблон:CDD 3{4}6 или Шаблон:CDD 3{6}3 или Шаблон:CDD 6{3}6 или Шаблон:CDD

Другие треугольные мозаики

Существуют также три Шаблон:Не переведено 5, состоящие из треугольников одного типа:


Шаблон:Не переведено 5
30°-60°-90° прямоугольные треугольники
Разделённая квадратная
45°-45°-90° прямоугольные треугольники
Шаблон:Не переведено 5
30°-30°-120° равнобедренные треугольники

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Навигационная обёртка

Семейство A~n−1 C~n−1 B~n−1 D~n−1 G~2 / F~4 / E~n−1
Однородная мозаика {3[3]} δ3 hδ3 qδ3 Шестиугольная
Однородные выпуклые соты {3[4]} δ4 hδ4 qδ4
однородные пятимерные соты {3[5]} δ5 hδ5 qδ5 Соты из 24-ячеек
однородные шестимерные соты {3[6]} δ6 hδ6 qδ6
однородные семимерные соты {3[7]} δ7 hδ7 qδ7 222
однородные восьмимерные соты {3[8]} δ8 hδ8 qδ8 133 • 331
однородные девятимерные соты {3[9]} δ9 hδ9 qδ9 152 • 251 • 521
Однородные n-мерные соты {3[n]} δn hδn qδn 1k2 • 2k1 • k21

Шаблон:Навигационная обёртка/конец Шаблон:Геометрические мозаики

Шаблон:Rq

  1. ↑ Шаблон:MathWorld
  2. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Треугольный_паркет&oldid=13027