Триакистетраэдр

Триакистетра́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «трижды», Шаблон:Lang-grc2 — «четыре» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый тригон-тритетраэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому тетраэдру. Составлен из 12 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos (-\frac{7}{18})\approx 112,89^{\circ },$ а два других $\arccos \frac{5}{6}\approx 33,56^{\circ }.$

Имеет 8 вершин; в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины правильного тетраэдра) сходятся своими острыми углами по 6 граней, в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины другого правильного тетраэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакистетраэдра 18 рёбер — 6 «длинных» (расположенных так же, как рёбра правильного тетраэдра) и 12 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{7}{11})\approx 129,52^{\circ }.$

Триакистетраэдр можно получить из правильного тетраэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани тетраэдра, и высотой, которая в $\frac{5\sqrt{6}}{2}\approx 6,12$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 4 граней исходного — с чем и связано его название.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакистетраэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{5}{3}a\approx 1,67a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{5\sqrt{11}}{3}{a}^2\approx 5,5277080a^2,$

$V=\frac{25\sqrt{2}}{36}{a}^3\approx 0,9820928a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{5\sqrt{22}}{44}a\approx 0,5330018a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{5\sqrt{2}}{12}a\approx 0,5892557a.$

Описать около триакистетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld