Пирамида (геометрия)

Шестиугольная пирамида

Пирами́да (от Шаблон:Lang-grc, род. п. Шаблон:Lang-el2) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит Шаблон:Nobr, пирамида называется Шаблон:Nobr. Она имеет $n$ боковых граней.

Пирамида является частным случаем конуса.

История развития пирамиды в геометрии

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12).

Элементы пирамиды

SO — высота
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности

• вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
• основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
• боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
• боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
• высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Развёртка пирамиды

Развёртка правильной пятиугольной пирамиды:
1. в плоскости основания («звезда»)
2. в плоскости одной из боковых граней

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Описание сферы вокруг правильной пирамиды:
SD — высота пирамиды.
AD — радиус окружности, описывающей основание.
В — середина ребра боковой грани
С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.
AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду

Сфера, вписанная в правильную пирамиду:
D — центр основания
SF — апофема
ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями
BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью
С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей
CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду

Сфера

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

$V=\frac{1}{3}Sh,$

где $S$ — площадь основания и $h$ — высота;

$V=\frac{1}{6}{V}_p,$

где $V_p$ — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле:

$V=\frac{1}{6}{a}_1{a}_{2}d\sin \phi ,$

где $a_1,a_2$ — скрещивающиеся рёбра , $d$ — расстояние между $a_1$ и $a_2$ , $\phi$ — угол между $a_1$ и $a_2$;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

$S_b=\sum _i^{}{S}_i$

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

$S_p=S_b+S_o$

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

$S_b=\frac{1}{2}Pa=\frac{n}{2}{b}^2\sin \alpha$

где $a$ — апофема , $P$ — периметр основания, $n$ — число сторон основания, $b$ — боковое ребро, $\alpha$ — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $\pi$, а каждый из них соответственно $\frac{\pi }{n}$, где $n$ — количество сторон многоугольника основания;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

См. также

• Усечённая пирамида
• Бипирамида

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Бумажные модели пирамид Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• «Начала» Евклида.