Правильный тетраэдр

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдра

Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна $π$ .
В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
- Правильный тетраэдр с ребром $x$ состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром $\frac{x}{2}$ и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром $\frac{x}{2}$ .
Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.

Объём правильного тетраэдра равен $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ Шаблон:Sfn
Площадь поверхности равна $\sqrt{3} a^{2}$ Шаблон:Sfn
Радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{12} a$ Шаблон:Sfn
Радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{4} a$ Шаблон:Sfn
Радиус полувписанной сферы равен $\frac{\sqrt{2}}{4} a$ Шаблон:Sfn
Высота правильного тетраэдра равна $\frac{\sqrt{6}}{3} a$ = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = $\frac{\sqrt{6}}{12} a + \frac{\sqrt{6}}{4} a$
Угол между двумя гранями равен $\arccos \frac{1}{3} \approx 70, 5 3^{\circ}$

Точки в серединах граней правильного тетраэдра являются вершинами правильного тетраэдра.

Соотношения:

рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны $\frac{1}{3}$ ;
площадей поверхности равно $\frac{1}{9}$ ;
объёмов равно $\frac{1}{27}$ .