Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, описавшего все правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника $\mathrm{\Gamma }$ размерности $n$ записывается в виде $\{p_1,p_2,p_3,\dots p_{n-1}\}$. Он индуктивно определяется следующим образом:

1. Определим $p_1$как число сторон двумерной грани многогранника $\mathrm{\Gamma }$.
2. Выберем одну из вершин $P$ многогранника $\mathrm{\Gamma }$ и рассмотрим все вершины $Q_1,\dots ,Q_k$, соединённые с ней ребром. Заметим, что вершины $Q_1,\dots ,Q_k$ лежат на гиперплоскости $H$, ортогональной прямой, соединяющей центр многогранника с $P$. Сечение многогранника $\mathrm{\Gamma }$ с гиперплоскостью $H$ представляет собой правильный многогранник ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ размерности $n-1$. Поскольку все вершины $\mathrm{\Gamma }$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины $P$. Определим $p_2$ как число сторон двумерной грани многогранника ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$.
3. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника $\mathrm{\Gamma }$.

Заметим, что символ Шлефли $n$-мерного многогранника состоит из $n-1$ целого числа, каждое из которых не меньше 3.

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
$1$	$\{\}$	Отрезок
$2$	$\{3\}$	Правильный треугольник
$2$	$\{4\}$	Правильный четырёхугольник
$2$	$\{5\}$	Правильный пятиугольник
$2$	$\{6\}$	Правильный шестиугольник
$2$	$\{n\}$	Правильный n-угольник
$3$	$\{3,3\}$	Правильный тетраэдр
$3$	$\{4,3\}$	Куб
$3$	$\{3,4\}$	Октаэдр
$3$	$\{3,5\}$	Правильный икосаэдр
$3$	$\{5,3\}$	Правильный додекаэдр
$4$	$\{3,3,3\}$	Пятиячейник
$4$	$\{4,3,3\}$	Тессеракт
$4$	$\{3,3,4\}$	Шестнадцатиячейник
$4$	$\{3,4,3\}$	Двадцатичетырёхъячейник
$4$	$\{5,3,3\}$	Стодвадцатиячейник
$4$	$\{3,3,5\}$	Шестисотячейник
$⩾5$	$\{3,...,3\}$	Симплекс
$⩾5$	$\{3,...,3,4\}$	Гипероктаэдр
$⩾5$	$\{4,3,...,3\}$	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Шаблон:Wayback