Гипероктаэдр

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаи

Число измерений n	Название фигуры	Символ Шлефли	Изображение
1	отрезок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаэдр	{3;4}
4	шестнадцатиячейник	{3;3;4}
5	5-ортоплекс	{3;3;3;4}

Описание

$n$-мерный гипероктаэдр имеет $2n$ вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при $n>1)$ вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его $k$-мерные гиперграни $(k<n)$ — одинаковые правильные симплексы; их число равно $2^{k+1}{C}_n^{k+1}.$

Угол между двумя смежными $(n-1)$-мерными гипергранями (при $n>1)$ равен $\arccos \left(\frac{2-n}{n}\right)$.

$n$-мерный гипероктаэдр $(n>1)$ можно представить как две одинаковых правильных $n$-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме $(n-1)$-мерного гипероктаэдра.

В координатах

$n$-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(\pm 1;0;\dots ;0),$ $(0;\pm 1;\dots ;0),\dots ,$ $(0;0;\dots ;\pm 1).$ При этом каждая из $2^n$ его $(n-1)$-мерных гиперграней будет располагаться в одном из $2^n$ ортантов $n$-мерного пространства.

Начало координат $(0;0;...;0)$ будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек $(x_1;x_2;\dots ;x_n),$ чьи координаты удовлетворяют уравнению

$\sum _{i=1}^n|x_i|=1,$

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

$\sum _{i=1}^n|x_i|<1.$

Метрические характеристики

Если $n$-мерный гипероктаэдр $(n>1)$ имеет ребро длины $a,$ то его $n$-мерный гиперобъём и $(n-1)$-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_n=\frac{(a\sqrt{2}{)}^n}{n!},$

$S_{n-1}=\frac{a^{n-1}\sqrt{n{2}^{n+1}}}{(n-1)!}.$

Радиус описанной $(n-1)$-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

$R={\rho }_0=\frac{a}{\sqrt{2}},$

радиус $k$-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех $k$-мерных гиперграней в их центрах; $k<n$) —

${\rho }_k=\frac{a}{\sqrt{2(k+1)}},$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех $(n-1)$-мерных гиперграней в их центрах) —

$r={\rho }_{n-1}=\frac{a}{\sqrt{2n}}.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld