Гиперсфера

[[Файл:Hypersphere coord.PNG|right|thumb|Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: [[Параллель|Шаблон:Oncolor]], [[Меридиан|Шаблон:Oncolor]] и Шаблон:Oncolor.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.]]

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфе́ра (от Шаблон:Lang-grc «сверх-» + Шаблон:Lang-grc2 «шар») — гиперповерхность в $n$-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

• при $n=1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
• при $n=2$ она представляет собой окружность;
• при $n=3$ гиперсфера является сферой.
• при $n=4$ гиперсфера является 3-сферой.
• при $n=5$ гиперсфера является 4-сферой.

…

• при $n=8$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n-1)$-мерным подмногообразием в $n$-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a=\{a_1,a_2,\dots a_n\}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

$(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2+\cdots +(x_n-a_n{)}^2=R^2$

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

$x=\rho \cdot \cos \alpha$

$y=\rho \cdot \sin \alpha$

а сферические координаты так:

$x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta$

$y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta$

$z=\rho \cdot \sin \beta$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

$x_1=\rho \cdot \cos {\alpha }_1\cdot \cos {\alpha }_2\cdot \dots \cdot \cos {\alpha }_{n-1}$

$x_2=\rho \cdot \sin {\alpha }_1\cdot \cos {\alpha }_2\cdot \dots \cdot \cos {\alpha }_{n-1}$

$x_3=\rho \cdot \sin {\alpha }_2\cdot \cos {\alpha }_3\cdot \dots \cdot \cos {\alpha }_{n-1}$

$\dots$

$x_n=\rho \cdot \sin {\alpha }_{n-1}$

где ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ и ${\alpha }_1\in [0,2\pi )$.

Якобиан этого преобразования равен

$J={\rho }^{n-1}\cos {\alpha }_2\cdot {\cos }^2{\alpha }_3\cdot \dots \cdot {\cos }^{n-2}{\alpha }_{n-1}$

В другом варианте,

$x_1=\rho \cdot \sin {\alpha }_1\cdot \sin {\alpha }_2\cdot \dots \cdot \sin {\alpha }_{n-1}$

$x_2=\rho \cdot \cos {\alpha }_1\cdot \sin {\alpha }_2\cdot \dots \cdot \sin {\alpha }_{n-1}$

$x_3=\rho \cdot \cos {\alpha }_2\cdot \sin {\alpha }_3\cdot \dots \cdot \sin {\alpha }_{n-1}$

$\dots$

$x_n=\rho \cdot \cos {\alpha }_{n-1}$

где ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}\in [0,\pi ]$ и ${\alpha }_1\in [0,2\pi )$.

Якобиан в такой форме равен

$J={\rho }^{n-1}\sin {\alpha }_2\cdot {\sin }^2{\alpha }_3\cdot \dots \cdot {\sin }^{n-2}{\alpha }_{n-1}$

Площадь и объём

Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В $n$-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности $n$ её площадь поверхности $S_n$ и объём $V_n$, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам:

$S_n=n{C}_n{R}^{n-1}$

$V_n=C_n{R}^n$

где

$C_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$

а $\mathrm{\Gamma }(x)$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

$C_{2k}=\frac{{\pi }^k}{k!}$

$C_{2k+1}=\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}$

Здесь $n!!$ — двойной факториал.

Так как

$V_n/S_{n-1}=R/n$

$S_{n+1}/V_n=2\pi R$

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

$V_n=\frac{2\pi R^2}{n}{V}_{n-2}$

а площади их поверхностей соотносятся как

$S_n=\frac{2\pi R^2}{n-1}{S}_{n-2}$

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для $S_6$ и $V_5$, соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера ($S_n$)	$2\pi$	$4\pi$	$2{\pi }^2$	$\frac{8}{3}{\pi }^2$	${\pi }^3$	$\frac{16}{15}{\pi }^3$	$\frac{1}{3}{\pi }^4$	$\frac{32}{105}{\pi }^4$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар ($V_n$)	$2$	$\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{1}{2}{\pi }^2$	$\frac{8}{15}{\pi }^2$	$\frac{1}{6}{\pi }^3$	$\frac{16}{105}{\pi }^3$	$\frac{1}{24}{\pi }^4$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для $n$-мерного шара размерность его «объёма» также равна $n$, а размерность его «площади» — $n-1$.

Отношение объёма $n$-мерного шара $V_n=C_n{R}^n$ к объёму описанного вокруг него $n$-куба $2^n{R}^n$ быстро уменьшается с ростом $n$, быстрее, чем $2^{-n}$.

Топология гиперсферы

В этом разделе под сферой $S_n$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром $B_n$ — n-мерный гипершар, то есть $S_n\hookrightarrow {ℝ}^{n+1}$, $B_n\hookrightarrow {ℝ}^n$.

• Сфера $S_n$ гомеоморфна факторизации шара $B_n$ по его границе.
• Шар $B_n$ гомеоморфен факторизации $B_n\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})$.
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных $B_0=\mathrm{p}\mathrm{t}$ и $B_n$. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая $S_n$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные $B_n$, и сферу $S_{n-1}$, являющуюся их общей границей.

См. также

• Сфера Милнора
• Дикая сфера
• Расслоение Хопфа

Ссылки

• Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов Шаблон:Wayback
• Тренажёр для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях Шаблон:Wayback