Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция $S^3$ на ${ℝ}^3$. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на $S^2$ (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции $S^3$ (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{p}{\to }{S}^2$.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы $S^3$ как единичной сферы в ${ℂ}^2$, а двумерной сферы $S^2$ как комплексной проективной прямой $ℂP^1$. Тогда отображение:

$p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы $S^1$:

$\theta :(z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1,\theta z_2)$,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

$S^1=\{\theta \mid \theta \in ℂ,|\theta |=1\}$.

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера $S^{2n+1}$ расслаивается со слоем-окружностью над $ℂP^n$. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

$S^0\hookrightarrow S^1\to S^1$   (вещественная),

$S^1\hookrightarrow S^3\to S^2$   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

$S^3\hookrightarrow S^7\to S^4$   (кватернионная),

$S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8$   (октавная).

Такие расслоения сферы $S^n$, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях $n\in \{1,3,7,15\}$. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в ${ℝ}^n$ без делителей нуля может быть определено только при $n\in \{1,2,4,8\}$.

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее
• Сфера Милнора

Ссылки

• Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8
• Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math
• Отображение Хопфа на сайте Mathworld