Главное расслоение

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

Пусть $G$ — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой $G$ (или $G$-главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение $\pi :P\to X$, снабжённое непрерывным правым действием группы $P\times G\to P$, сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен $G$, а база $X$ — множеству орбит $P/G$.

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным $G$-главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой $F$. Точнее, пусть $\pi :P\to X$ — главное расслоение, $\rho :G\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(F)$ — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве $F$. Определим правое действие $G$ на $P\times F$:

$(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f).$

Рассмотрим факторпространство $A=(P\times F)/G$ и определим проекцию ${\pi }_A([p,f])=\pi (p)$. Тогда ${\pi }_A:A\to X$ — локально тривиальное расслоение со структурной группой $G$, называемое ассоциированным с $P$.

В теории калибровочных полей Шаблон:Iw на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

• Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно $P\times G$) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение $\sigma :X\to P$.

Примеры

• Расслоение реперов $FM$ многообразия $M$, имеющее структурную группу $\mathrm{G}\mathrm{L}(\dim M)$.
• Пусть $G$ — группа Ли, $H$ — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой $G/H$, структурной группой $H$ и проекцией $\pi :G\to G/H$.
• Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой $S^2$, структурной группой $\mathrm{U}(1)\simeq S^1$ и тотальным пространством $S^3$.
• Регулярное накрытие $p:C\to X$ является главным расслоением со структурной группой ${\pi }_1(X)/p_{*}({\pi }_1(C))$, действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие $X$ является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы ${\pi }_1(X)$.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book