Гауссов интеграл

Шаблон:Не путать Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на) — интеграл от гауссовой функции:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Доказательства

Доказательство

Рассмотрим функцию $(1+t)e^{-t}$ . Она ограничена сверху единицей на интервале $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$, а снизу нулем на интервале $[-1;+\mathrm{\infty })$ . В частности, полагая $t=\pm x^2$, получим при $x=0$ : $\{\begin{array}{c}(1-x^2)e^{x^2}<1\\ (1+x^2)e^{-x^2}<1\end{array}$ Ограничим в первом неравенстве изменение $x$ промежутком $(0,1)$, а во втором — промежутком $(0;\mathrm{\infty })$, возведём оба неравенства в степень $n(n\in N)$, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: $\{\begin{array}{c}(1-x^2{)}^n<e^{-n{x}^2}\\ 0<x<1\end{array}$ и $\{\begin{array}{c}{e}^{-n{x}^2}<\frac{1}{(1+x^2{)}^n}\\ x>0\end{array}$ Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x^2{)}^{n}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-n{x}^2}dx<\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-n{x}^2}dx<\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1+x^2{)}^n}dx$ При замене $u=x\sqrt{n}$ получим $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-n{x}^2}dx=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot K,K=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$ Полагая $x=\cos t$ получим, соответственно, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x^2{)}^{n}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n+1}tdt=\frac{2n!!}{(2n+1)!!}$ Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной $t$ от 0 до $\pi /2$ величина $\cos t$ меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя $x=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}t$, получим $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1+x^2{)}^n}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n-2}tdt=\frac{\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}$ Здесь с пределами интегрирования аналогично: $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}t$ изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной $t$ от 0 до $\pi /2$ . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале $\sqrt{n}\cdot \frac{2n!!}{(2n+1)!!}<K<\sqrt{n}\cdot \frac{\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}$ Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до $\frac{n}{2n+1}\cdot \frac{(2n!!{)}^2}{(2n+1)((2n-1)!!{)}^2}<K^2<\frac{n}{2n-1}\cdot \frac{(2n-1)((2n-3)!!{)}^2}{((2n-2)!!{)}^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{4}$ Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к $\pi /4$ при $n\to \mathrm{\infty }$ Следовательно, $K^2=\frac{\pi }{4}⟺K=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ В силу чётности функции $e^{-x^2}$, получаем, что $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Доказательство 2

Гауссов интеграл может быть представлен как $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$. Рассмотрим квадрат этого интеграла $I^2$. Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам $(x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$, $r^2=x^2+y^2)$ и интегрируя по $\varphi$ (от 0 до $2\pi$), получаем: $I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r=\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}\mathrm{d}{r}^2=\pi .$ Следовательно, $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$.

Доказательство 3

Гауссов интеграл может быть представлен как $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz$. Рассмотрим куб этого интеграла $I^3$. Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам: $\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \theta \\ r^2=x^2+y^2+z^2\end{array}$, якобиан преобразования равен $J=r^2\sin \theta$, и интегрируя по $\theta$ (от $0$ до $\pi$), по $\phi$ (от $0$ до $2\pi$), по $r$ (от $0$ до $\mathrm{\infty }$), получаем: $\begin{array}{c}{I}^3=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2-z^2}dxdydz=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}Jdrd\theta d\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2}dr=\\ =2\pi \left((-\cos \pi )-(-\cos 0)\right)\left(-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}rd{e}^{-r^2}\right)=-2\pi \left({\left(r{e}^{-r^2}\right)|}_0^{\mathrm{\infty }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}dr\right)=-2\pi (0-\frac{I}{2})=\pi I\end{array}$ Следовательно, $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$.

Вариации

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha e^{-x^2/{\beta }^2}dx=\alpha \beta \sqrt{\pi }$

и многомерные гауссовы интегралы

$\int \alpha e^{-(x^2/{\beta }_1^2+y^2/{\beta }_2^2+z^2/{\beta }_3^2+\dots )}dxdydz\dots =\alpha {\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3\dots \sqrt{{\pi }^n}$

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

$\int e^{x^{T}Mx}d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3\dots d{x}_n=\sqrt{\frac{{\pi }^n}{|\det (M)|}}$

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\frac{b^2}{4a}-c},$

В физике

Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики.

История

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

См. также

• Функция ошибок

Ссылки

• Шаблон:Cite journal