Формула Валлиса

Фо́рмула Ва́ллиса (также произве́дение Ва́ллиса) — формула, выражающая число $\pi$ через бесконечное произведение рациональных дробей:

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})\\ & =(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdot \cdots \\ \end{array}$

История

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа $\pi$:

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{10}{11}\cdot \dots$

Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений.

Доказательство

При подстановке $x=\frac{\pi }{2}$ в бесконечное произведение для функции синуса, имеющее вид

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2}),$

получается

$\frac{2}{\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2}),$

откуда

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)=\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \dots \end{array}$

Применение

Произведение Валлиса сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа $\pi$ оно малопригодно. При этом формула бывает полезна при различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга.

Если формулу скорректировать, придав ей вид

$\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right]\cdot [\frac{2m}{2m-1}\cdot (\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{1}{4}+1)+\frac{3}{4}]$

то скорость сходимости возрастёт примерно на пять порядков. Так, например, при $m=4$ получится

$\pi \approx \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot [\frac{8}{7}\cdot (\frac{8}{9}\cdot \frac{1}{4}+1)+\frac{3}{4}]\approx 3,1405.$