Формула Стирлинга

Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.

Наиболее используемый вариант формулы:

$\ln \mathrm{\Gamma }(n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).$

Следующий член в $O(\ln n)$ это $\frac{1}{2}\ln (2\pi n)$; таким образом более точная аппроксимация:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1,$

что эквивалентно

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\exp \frac{{\theta }_n}{12n},$

где $0<{\theta }_n<1$, $n>0$. Более точную оценку даёт формула

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\exp \frac{1}{12n+{\theta }_n},$

где $0<{\theta }_n<1$, $n>0$.

В последней формуле максимальное значение ${\theta }_n$ в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при $n>0$ имеет вид

$\begin{array}{cc}n!& \sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\exp \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}=\\ & =\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\cdots )=\\ & =\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{(2^1)(6n{)}^1}+\frac{1}{(2^3)(6n{)}^2}-\frac{139}{(2^3)(2\cdot 3\cdot 5)(6n{)}^3}-\\ & -\frac{571}{(2^6)(2\cdot 3\cdot 5)(6n{)}^4}+\cdots ),\end{array}$

где $B_j$ — числа Бернулли с номером $j$.

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном $n$, однако он является асимптотическим разложением факториала при $n\to \mathrm{\infty }$.