Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции ${\phi }_n$ удовлетворяют свойству: ${\phi }_{n+1}(x)=o({\phi }_n(x))(x\to L)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ для некоторой предельной точки $L$ области определения функции f(x). Последовательность функций ${\phi }_n$, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$, для которого выполняются условия :$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=O({\phi }_N(x))(x\to L)$

или эквивалентно:

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=o({\phi }_{N-1}(x))(x\to L).$

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)(x\to L).$

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции $f(x)$ можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном $x$ ряд сходится в значение $f(x)$ при $N\to \mathrm{\infty }$, тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном $N$ ряд сходится в значение $f(x)$ в пределе $x\to L$ ($L$ может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$ называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность ${\psi }_n$, что

$f(x)-\sum _{n=0}^N{a}_n{\phi }_n(x)=o({\psi }_N(x))(x\to L).$

Этот факт записывается в следующем виде:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)(x\to L)\{{\psi }_n(x)\}.$

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\mathrm{\Gamma }(x+1)\sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots (x\to \mathrm{\infty })$

• Интегральная показательная функция

$x{e}^x{E}_1(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to \mathrm{\infty })$

• Дзета-функция Римана

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^N{n}^{-s}-\frac{N^{1-s}}{s-1}-\frac{1}{2}{N}^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2m}{s}^{\overline{2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}$
где $B_{2m}$ — числа Бернулли и $s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)$. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

$\sqrt{\pi }x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

$\frac{\sin (x)}{x}\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x{)}^n}(x\to \mathrm{\infty })\{(\log x{)}^{-n}\}.$

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — Шаблон:М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975